MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcl Unicode version

Theorem nnmcl 7280
Description: Closure of multiplication of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmcl

Proof of Theorem nnmcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . 5
21eleq1d 2526 . . . 4
32imbi2d 316 . . 3
4 oveq2 6304 . . . . 5
54eleq1d 2526 . . . 4
6 oveq2 6304 . . . . 5
76eleq1d 2526 . . . 4
8 oveq2 6304 . . . . 5
98eleq1d 2526 . . . 4
10 nnm0 7273 . . . . 5
11 peano1 6719 . . . . 5
1210, 11syl6eqel 2553 . . . 4
13 nnacl 7279 . . . . . . . 8
1413expcom 435 . . . . . . 7
1514adantr 465 . . . . . 6
16 nnmsuc 7275 . . . . . . 7
1716eleq1d 2526 . . . . . 6
1815, 17sylibrd 234 . . . . 5
1918expcom 435 . . . 4
205, 7, 9, 12, 19finds2 6728 . . 3
213, 20vtoclga 3173 . 2
2221impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   c0 3784  succsuc 4885  (class class class)co 6296   com 6700   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  nnecl  7281  nnmcli  7283  nndi  7291  nnmass  7292  nnmsucr  7293  nnmordi  7299  nnmord  7300  nnmword  7301  omabslem  7314  nnneo  7319  nneob  7320  fin1a2lem4  8804  mulclpi  9292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator