MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcom Unicode version

Theorem nnmcom 7294
Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmcom

Proof of Theorem nnmcom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . . 5
2 oveq2 6304 . . . . 5
31, 2eqeq12d 2479 . . . 4
43imbi2d 316 . . 3
5 oveq1 6303 . . . . 5
6 oveq2 6304 . . . . 5
75, 6eqeq12d 2479 . . . 4
8 oveq1 6303 . . . . 5
9 oveq2 6304 . . . . 5
108, 9eqeq12d 2479 . . . 4
11 oveq1 6303 . . . . 5
12 oveq2 6304 . . . . 5
1311, 12eqeq12d 2479 . . . 4
14 nnm0r 7278 . . . . 5
15 nnm0 7273 . . . . 5
1614, 15eqtr4d 2501 . . . 4
17 oveq1 6303 . . . . . 6
18 nnmsucr 7293 . . . . . . 7
19 nnmsuc 7275 . . . . . . . 8
2019ancoms 453 . . . . . . 7
2118, 20eqeq12d 2479 . . . . . 6
2217, 21syl5ibr 221 . . . . 5
2322ex 434 . . . 4
247, 10, 13, 16, 23finds2 6728 . . 3
254, 24vtoclga 3173 . 2
2625imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   c0 3784  succsuc 4885  (class class class)co 6296   com 6700   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  nnmwordri  7304  nn2m  7318  omopthlem1  7323  mulcompi  9295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator