MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmord Unicode version

Theorem nnmord 7300
Description: Ordering property of multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 22-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmord

Proof of Theorem nnmord
StepHypRef Expression
1 nnmordi 7299 . . . . . 6
21ex 434 . . . . 5
32com23 78 . . . 4
43impd 431 . . 3
543adant1 1014 . 2
6 ne0i 3790 . . . . . . . 8
7 nnm0r 7278 . . . . . . . . . 10
8 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
98eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
107, 9syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9
1110necon3d 2681 . . . . . . . 8
126, 11syl5 32 . . . . . . 7
1312adantr 465 . . . . . 6
14 nnord 6708 . . . . . . . 8
15 ord0eln0 4937 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7
1716adantl 466 . . . . . 6
1813, 17sylibrd 234 . . . . 5
19183adant1 1014 . . . 4
20 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
2120a1i 11 . . . . . . . . 9
22 nnmordi 7299 . . . . . . . . . 10
23223adantl2 1153 . . . . . . . . 9
2421, 23orim12d 838 . . . . . . . 8
2524con3d 133 . . . . . . 7
26 simpl3 1001 . . . . . . . . 9
27 simpl1 999 . . . . . . . . 9
28 nnmcl 7280 . . . . . . . . 9
2926, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . 8
30 simpl2 1000 . . . . . . . . 9
31 nnmcl 7280 . . . . . . . . 9
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . 8
33 nnord 6708 . . . . . . . . 9
34 nnord 6708 . . . . . . . . 9
35 ordtri2 4918 . . . . . . . . 9
3633, 34, 35syl2an 477 . . . . . . . 8
3729, 32, 36syl2anc 661 . . . . . . 7
38 nnord 6708 . . . . . . . . 9
39 nnord 6708 . . . . . . . . 9
40 ordtri2 4918 . . . . . . . . 9
4138, 39, 40syl2an 477 . . . . . . . 8
4227, 30, 41syl2anc 661 . . . . . . 7
4325, 37, 423imtr4d 268 . . . . . 6
4443ex 434 . . . . 5
4544com23 78 . . . 4
4619, 45mpdd 40 . . 3
4746, 19jcad 533 . 2
485, 47impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   c0 3784  Ordword 4882  (class class class)co 6296   com 6700   comu 7147
This theorem is referenced by:  nnmword  7301  nnneo  7319  ltmpi  9303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator