Theorem nnmulcl 10584

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcl

Proof of Theorem nnmulcl

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . 5
2	1	eleq1d 2526	. . . 4
3	2	imbi2d 316	. . 3
4		oveq2 6304	. . . . 5
5	4	eleq1d 2526	. . . 4
6	5	imbi2d 316	. . 3
7		oveq2 6304	. . . . 5
8	7	eleq1d 2526	. . . 4
9	8	imbi2d 316	. . 3
10		oveq2 6304	. . . . 5
11	10	eleq1d 2526	. . . 4
12	11	imbi2d 316	. . 3
13		nncn 10569	. . . 4
14		mulid1 9614	. . . . . 6
15	14	eleq1d 2526	. . . . 5
16	15	biimprd 223	. . . 4
17	13, 16	mpcom 36	. . 3
18		nnaddcl 10583	. . . . . . . 8
19	18	ancoms 453	. . . . . . 7
20		nncn 10569	. . . . . . . . 9
21		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . 11
22		adddi 9602	. . . . . . . . . . 11
23	21, 22	mp3an3 1313	. . . . . . . . . 10
24	14	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11
25	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10
26	23, 25	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9
27	13, 20, 26	syl2an 477	. . . . . . . 8
28	27	eleq1d 2526	. . . . . . 7
29	19, 28	syl5ibr 221	. . . . . 6
30	29	exp4b 607	. . . . 5
31	30	pm2.43b 50	. . . 4
32	31	a2d 26	. . 3
33	3, 6, 9, 12, 17, 32	nnind 10579	. 2
34	33	impcom 430	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cn 10561

This theorem is referenced by:  nnmulcli  10585  nndivtr  10602  nnmulcld  10608  nn0mulcl  10857  qaddcl  11227  qmulcl  11229  modmulnn  12013  nnexpcl  12179  nnsqcl  12237  expmulnbnd  12298  faccl  12363  facdiv  12365  faclbnd3  12370  faclbnd4lem3  12373  faclbnd5  12376  bcrpcl  12386  trirecip  13674  fprodnncl  13762  pcmptcl  14410  prmreclem1  14434  prmreclem6  14439  4sqlem12  14474  vdwlem3  14501  vdwlem9  14507  vdwlem10  14508  mulgnnass  16170  ovolunlem1a  21907  ovolunlem1  21908  mbfi1fseqlem3  22124  mbfi1fseqlem4  22125  elqaalem2  22716  elqaalem3  22717  log2cnv  23275  log2tlbnd  23276  log2ublem2  23278  log2ub  23280  basellem1  23354  basellem2  23355  basellem3  23356  basellem4  23357  basellem5  23358  basellem6  23359  basellem7  23360  basellem8  23361  basellem9  23362  efnnfsumcl  23376  efchtdvds  23433  mumullem1  23453  mumullem2  23454  fsumdvdscom  23461  dvdsflf1o  23463  chtublem  23486  pcbcctr  23551  bclbnd  23555  bposlem1  23559  bposlem2  23560  bposlem3  23561  bposlem4  23562  bposlem5  23563  bposlem6  23564  lgseisenlem1  23624  lgseisenlem2  23625  lgseisenlem3  23626  lgseisenlem4  23627  lgsquadlem1  23629  lgsquadlem2  23630  chebbnd1lem1  23654  chebbnd1lem3  23656  dchrisumlem1  23674  mulogsum  23717  pntrsumo1  23750  pntrsumbnd  23751  ostth2lem1  23803  subfaclim  28632  nnrisefaccl  29141  jm2.17a  30898  jm2.17b  30899  jm2.17c  30900  acongrep  30918  acongeq  30921  jm2.27a  30947  jm2.27c  30949  lcmgcdlem  31212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-nn 10562