MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnneo Unicode version

Theorem nnneo 7319
Description: If a natural number is even, its successor is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnneo

Proof of Theorem nnneo
StepHypRef Expression
1 nnon 6706 . . . 4
2 onnbtwn 4974 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
433ad2ant1 1017 . 2
5 suceq 4948 . . . . 5
65eqeq1d 2459 . . . 4
763ad2ant3 1019 . . 3
8 ovex 6324 . . . . . . . 8
98sucid 4962 . . . . . . 7
10 eleq2 2530 . . . . . . 7
119, 10mpbii 211 . . . . . 6
12 2onn 7308 . . . . . . . 8
13 nnmord 7300 . . . . . . . 8
1412, 13mp3an3 1313 . . . . . . 7
15 simpl 457 . . . . . . 7
1614, 15syl6bir 229 . . . . . 6
1711, 16syl5 32 . . . . 5
18 simpr 461 . . . . . . . . 9
19 nnmcl 7280 . . . . . . . . . . . . 13
2012, 19mpan 670 . . . . . . . . . . . 12
21 nnon 6706 . . . . . . . . . . . 12
22 oa1suc 7200 . . . . . . . . . . . 12
2320, 21, 223syl 20 . . . . . . . . . . 11
24 1onn 7307 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524elexi 3119 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625sucid 4962 . . . . . . . . . . . . . 14
27 df-2o 7150 . . . . . . . . . . . . . 14
2826, 27eleqtrri 2544 . . . . . . . . . . . . 13
29 nnaord 7287 . . . . . . . . . . . . . . 15
3024, 12, 29mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . 14
3120, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3228, 31mpbii 211 . . . . . . . . . . . 12
33 nnmsuc 7275 . . . . . . . . . . . . 13
3412, 33mpan 670 . . . . . . . . . . . 12
3532, 34eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . 11
3623, 35eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . 10
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
3818, 37eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8
39 peano2 6720 . . . . . . . . . . 11
40 nnmord 7300 . . . . . . . . . . . 12
4112, 40mp3an3 1313 . . . . . . . . . . 11
4239, 41sylan2 474 . . . . . . . . . 10
4342ancoms 453 . . . . . . . . 9
4443adantr 465 . . . . . . . 8
4538, 44mpbird 232 . . . . . . 7
4645simpld 459 . . . . . 6
4746ex 434 . . . . 5
4817, 47jcad 533 . . . 4
49483adant3 1016 . . 3
507, 49sylbid 215 . 2
514, 50mtod 177 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   c0 3784   con0 4883  succsuc 4885  (class class class)co 6296   com 6700   c1o 7142   c2o 7143   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  nneob  7320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator