MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnre Unicode version

Theorem nnre 10568
Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnre

Proof of Theorem nnre
StepHypRef Expression
1 nnssre 10565 . 2
21sseli 3499 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818   cr 9512   cn 10561
This theorem is referenced by:  nnrei  10570  nn2ge  10586  nnge1  10587  nngt1ne1  10588  nnle1eq1  10589  nngt0  10590  nnnlt1  10591  nndivre  10596  nnrecgt0  10598  nnsub  10599  nnunb  10816  arch  10817  nnrecl  10818  bndndx  10819  0mnnnnn0  10853  nnnegz  10892  elnnz  10899  elz2  10906  gtndiv  10965  prime  10968  btwnz  10991  indstr  11179  qre  11216  rpnnen1lem1  11237  rpnnen1lem2  11238  rpnnen1lem3  11239  rpnnen1lem5  11241  nnrp  11258  qbtwnre  11427  fzo1fzo0n0  11864  elfzo0le  11866  fzonmapblen  11868  ubmelfzo  11881  fzonn0p1p1  11894  elfzom1p1elfzo  11895  ubmelm1fzo  11908  flltdivnn0lt  11965  quoremz  11982  quoremnn0ALT  11984  intfracq  11986  fldiv  11987  modmulnn  12013  modidmul0  12022  addmodid  12036  modifeq2int  12049  modaddmodup  12050  modaddmodlo  12051  nnlesq  12271  digit2  12299  digit1  12300  facdiv  12365  facndiv  12366  faclbnd  12368  faclbnd3  12370  faclbnd4lem4  12374  faclbnd5  12376  bcval5  12396  seqcoll  12512  lswcl  12589  lswccatn0lsw  12607  swrdn0  12655  cshwidxmod  12774  cshwidxm1  12777  repswcshw  12780  isercolllem1  13487  harmonic  13670  efaddlem  13828  rpnnen2lem9  13956  rpnnen2  13959  sqrt2irr  13982  nndivdvds  13992  dvdsle  14031  dvdseq  14033  fzm1ndvds  14038  divalg2  14063  divalgmod  14064  ndvdsadd  14066  modgcd  14174  gcdmultiple  14188  gcdmultiplez  14189  gcdeq  14190  sqgcd  14196  dvdssqlem  14197  isprm3  14226  qredeq  14247  qredeu  14248  isprm5  14253  divdenle  14282  phibndlem  14300  eulerthlem2  14312  oddprm  14339  pythagtriplem10  14344  pythagtriplem12  14350  pythagtriplem14  14352  pythagtriplem16  14354  pythagtriplem19  14357  pclem  14362  pc2dvds  14402  pcmpt  14411  fldivp1  14416  pcbc  14419  infpnlem1  14428  infpn2  14431  prmreclem1  14434  prmreclem3  14436  vdwlem3  14501  ram0  14540  cshwshashlem1  14580  cshwshashlem2  14581  mulgnegnn  16152  odmodnn0  16564  gexdvds  16604  sylow3lem6  16652  prmirredlem  18523  prmirredlemOLD  18526  znidomb  18600  chfacfisf  19355  chfacfisfcpmat  19356  chfacffsupp  19357  chfacfscmul0  19359  chfacfpmmul0  19363  ovolunlem1a  21907  ovoliunlem2  21914  ovolicc2lem3  21930  ovolicc2lem4  21931  iundisj2  21959  dyadss  22003  volsup2  22014  volivth  22016  vitali  22022  ismbf3d  22061  mbfi1fseqlem3  22124  mbfi1fseqlem4  22125  mbfi1fseqlem5  22126  itg2seq  22149  itg2gt0  22167  itg2cnlem1  22168  plyeq0lem  22607  dgreq0  22662  dgrcolem2  22671  elqaalem2  22716  elqaalem3  22717  logtayllem  23040  leibpi  23273  birthdaylem3  23283  basellem1  23354  basellem2  23355  basellem3  23356  basellem6  23359  basellem9  23362  prmorcht  23452  dvdsdivcl  23457  dvdsflsumcom  23464  muinv  23469  vmalelog  23480  chtublem  23486  logfac2  23492  logfaclbnd  23497  pcbcctr  23551  bcmono  23552  bposlem1  23559  bposlem5  23563  bposlem6  23564  bpos  23568  lgsval4a  23593  lgsquadlem1  23629  lgsquadlem2  23630  dchrisum0re  23698  dchrisum0lem1  23701  logdivbnd  23741  ostth2lem1  23803  ostth2lem3  23820  clwwlkel  24793  clwwlkf  24794  clwwlkf1  24796  wwlkext2clwwlk  24803  wwlksubclwwlk  24804  clwwisshclwwlem  24806  numclwlk2lem2f  25103  gxnn0neg  25265  gxmodid  25281  nmounbseqi  25692  nmounbseqiOLD  25693  nmobndseqi  25694  nmobndseqiOLD  25695  ubthlem1  25786  minvecolem3  25792  lnconi  26952  iundisj2f  27449  xrsmulgzz  27666  esumpmono  28085  eulerpartlemb  28307  fibp1  28340  zetacvg  28557  eldmgm  28564  subfaclim  28632  subfacval3  28633  snmlff  28774  fz0n  29110  nndivsub  29922  nndivlub  29923  mblfinlem2  30052  nn0prpwlem  30140  nn0prpw  30141  fzmul  30233  incsequz  30241  nnubfi  30243  nninfnub  30244  irrapxlem1  30758  irrapxlem2  30759  pellexlem1  30765  pellexlem5  30769  pellqrex  30815  monotoddzzfi  30878  jm2.24nn  30897  congabseq  30912  acongrep  30918  acongeq  30921  expdiophlem1  30963  idomrootle  31152  idomodle  31153  hashgcdlem  31157  prmunb2  31191  lcmgcdlem  31212  hashnzfzclim  31227  fmuldfeq  31577  sumnnodd  31636  stoweidlem14  31796  stoweidlem17  31799  stoweidlem20  31802  stoweidlem49  31831  stoweidlem60  31842  wallispilem3  31849  wallispilem4  31850  wallispilem5  31851  wallispi  31852  wallispi2lem1  31853  wallispi2lem2  31854  stirlinglem1  31856  stirlinglem3  31858  stirlinglem4  31859  stirlinglem6  31861  stirlinglem7  31862  stirlinglem10  31865  stirlinglem11  31866  stirlinglem12  31867  stirlinglem13  31868  stirlingr  31872  dirker2re  31874  dirkerval2  31876  dirkerre  31877  dirkertrigeqlem1  31880  fourierdlem66  31955  fourierdlem73  31962  fourierdlem83  31972  fourierdlem87  31976  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  fourierdlem111  32000  fouriersw  32014  etransclem24  32041  subsubelfzo0  32338  altgsumbcALT  32942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-nn 10562
  Copyright terms: Public domain W3C validator