MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnred Unicode version

Theorem nnred 10576
Description: A positive integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1
Assertion
Ref Expression
nnred

Proof of Theorem nnred
StepHypRef Expression
1 nnssre 10565 . 2
2 nnred.1 . 2
31, 2sseldi 3501 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818   cr 9512   cn 10561
This theorem is referenced by:  uzwo3  11206  modmulnn  12013  bernneq3  12294  expmulnbnd  12298  facwordi  12367  faclbnd  12368  faclbnd2  12369  faclbnd3  12370  faclbnd5  12376  faclbnd6  12377  facubnd  12378  facavg  12379  bcp1nk  12395  hashf1  12506  swrds2  12883  isercolllem1  13487  isercoll  13490  o1fsum  13627  climcndslem1  13661  climcndslem2  13662  climcnds  13663  eftabs  13811  efcllem  13813  ege2le3  13825  efcj  13827  eftlub  13844  eflegeo  13856  eirrlem  13937  fzm1ndvds  14038  bitsfzolem  14084  bitsfzo  14085  bitsinv1lem  14091  sadcaddlem  14107  smueqlem  14140  bezoutlem3  14178  bezoutlem4  14179  sqgcd  14196  prmind2  14228  coprm  14241  prmfac1  14259  divdenle  14282  qnumgt0  14283  zsqrtelqelz  14291  hashdvds  14305  eulerthlem2  14312  odzdvds  14322  modprm1div  14324  modprm0  14330  pythagtriplem11  14349  pythagtriplem13  14351  pythagtriplem19  14357  pclem  14362  pcpre1  14366  pcidlem  14395  pcadd  14408  pcmpt  14411  pcmpt2  14412  pcfaclem  14417  pcfac  14418  qexpz  14420  pockthlem  14423  pockthg  14424  prmreclem1  14434  prmreclem3  14436  prmreclem4  14437  prmreclem5  14438  1arithlem4  14444  1arith  14445  4sqlem5  14460  4sqlem6  14461  4sqlem10  14465  mul4sqlem  14471  4sqlem11  14473  4sqlem12  14474  4sqlem13  14475  4sqlem14  14476  4sqlem15  14477  4sqlem16  14478  4sqlem17  14479  vdwlem1  14499  vdwlem3  14501  vdwlem6  14504  vdwlem9  14507  vdwlem10  14508  vdwlem12  14510  vdwnnlem3  14515  ramub1lem1  14544  2expltfac  14577  cshwshashnsame  14588  psgnunilem4  16522  mndodconglem  16565  oddvds  16571  sylow1lem1  16618  sylow1lem5  16622  fislw  16645  efgredlem  16765  gexexlem  16858  zringlpirlem3  18511  zlpirlem3  18516  prmirredlem  18523  prmirredlemOLD  18526  fvmptnn04if  19350  fvmptnn04ifb  19352  fvmptnn04ifc  19353  fvmptnn04ifd  19354  chfacfisf  19355  chfacfisfcpmat  19356  chfacfscmulgsum  19361  chfacfpmmulgsum  19365  lebnumii  21466  lmnn  21702  ovolunlem1a  21907  ovoliunlem1  21913  ovolicc2lem3  21930  ovolicc2lem4  21931  iundisj  21958  voliunlem1  21960  uniioombllem3  21994  dyadf  22000  dyadovol  22002  dyaddisjlem  22004  dyadmaxlem  22006  opnmbllem  22010  vitalilem4  22020  mbfi1fseqlem1  22122  mbfi1fseqlem3  22124  mbfi1fseqlem4  22125  mbfi1fseqlem5  22126  mbfi1fseqlem6  22127  itg2gt0  22167  itg2cnlem2  22169  dgreq0  22662  dgrco  22672  elqaalem2  22716  aaliou3lem2  22739  aaliou3lem8  22741  aaliou3lem9  22746  leibpi  23273  log2tlbnd  23276  birthdaylem3  23283  amgm  23320  emcllem2  23326  harmonicbnd4  23340  wilthlem1  23342  ftalem5  23350  basellem1  23354  basellem2  23355  basellem3  23356  basellem4  23357  basellem5  23358  basellem6  23359  basellem8  23361  chtge0  23386  chtwordi  23430  vma1  23440  dvdsdivcl  23457  dvdsflf1o  23463  dvdsflsumcom  23464  fsumfldivdiaglem  23465  sgmmul  23476  chtublem  23486  fsumvma2  23489  logfac2  23492  chpchtsum  23494  chpub  23495  logfaclbnd  23497  logexprlim  23500  mersenne  23502  perfectlem2  23505  dchrelbas4  23518  bposlem1  23559  bposlem2  23560  bposlem3  23561  bposlem4  23562  bposlem5  23563  bposlem6  23564  bposlem7  23565  bposlem9  23567  lgslem1  23571  lgslem4  23574  lgsval2lem  23581  lgsdirprm  23604  lgsdir  23605  lgsne0  23608  lgsqrlem2  23617  lgseisenlem1  23624  lgseisenlem2  23625  lgseisenlem3  23626  lgseisenlem4  23627  lgseisen  23628  lgsquadlem1  23629  lgsquadlem2  23630  lgsquadlem3  23631  m1lgs  23637  2sqlem3  23641  2sqlem8  23647  2sqblem  23652  chebbnd1lem1  23654  chebbnd1lem3  23656  chtppilimlem1  23658  rplogsumlem1  23669  rplogsumlem2  23670  dchrisum0lem1a  23671  rpvmasumlem  23672  dchrisumlema  23673  dchrisumlem1  23674  dchrisumlem2  23675  dchrisumlem3  23676  dchrvmasumiflem1  23686  dchrisum0flblem2  23694  dchrisum0re  23698  dchrisum0lem1b  23700  dchrisum0lem1  23701  dirith2  23713  selbergb  23734  selberg2lem  23735  logdivbnd  23741  selberg3lem2  23743  selberg4lem1  23745  pntrsumo1  23750  pntrsumbnd2  23752  pntrlog2bndlem1  23762  pntrlog2bndlem2  23763  pntrlog2bndlem3  23764  pntrlog2bndlem4  23765  pntrlog2bndlem5  23766  pntpbnd1a  23770  pntpbnd1  23771  pntibndlem2a  23775  pntibndlem2  23776  pntlemg  23783  pntlemh  23784  pntlemj  23788  pntlemf  23790  ostth2lem1  23803  padicabvf  23816  padicabvcxp  23817  ostth2lem2  23819  ostth2lem3  23820  ostth2lem4  23821  ostth2  23822  ostth3  23823  eupap1  24976  numclwwlk5  25112  numclwwlk7  25114  ubthlem2  25787  minvecolem4  25796  iundisjf  27448  ssnnssfz  27597  iundisjfi  27601  2sqmod  27636  esumcst  28071  oddpwdc  28293  eulerpartlems  28299  eulerpartlemgc  28301  fiblem  28337  dstfrvunirn  28413  dstfrvclim1  28416  ballotlemimin  28444  lgamgulmlem1  28571  lgamgulmlem2  28572  lgamgulmlem3  28573  lgamgulmlem4  28574  lgamgulmlem5  28575  lgamgulmlem6  28576  lgamucov  28580  lgamcvg2  28597  subfaclim  28632  subfacval3  28633  erdszelem7  28641  erdszelem8  28642  erdsze2lem2  28648  cvmliftlem2  28731  cvmliftlem6  28735  cvmliftlem7  28736  cvmliftlem8  28737  cvmliftlem9  28738  cvmliftlem10  28739  cvmliftlem13  28741  faclimlem2  29169  faclim2  29173  opnmbllem0  30050  mblfinlem2  30052  nn0prpwlem  30140  incsequz  30241  nninfnub  30244  irrapxlem3  30760  irrapxlem4  30761  irrapxlem5  30762  pellexlem2  30766  pellexlem6  30770  pell14qrgt0  30795  pell14qrgapw  30812  pellfundgt1  30819  rmspecsqrtnq  30842  ltrmxnn0  30887  jm3.1lem1  30959  jm3.1lem3  30961  dgraa0p  31098  lcmgcdlem  31212  hashnzfz2  31226  rfcnnnub  31411  nnxrd  31419  fzisoeu  31500  fsumnncl  31572  sumnnodd  31636  stoweidlem1  31783  stoweidlem3  31785  stoweidlem11  31793  stoweidlem17  31799  stoweidlem20  31802  stoweidlem25  31807  stoweidlem26  31808  stoweidlem34  31816  stoweidlem38  31820  stoweidlem42  31824  stoweidlem44  31826  stoweidlem51  31833  stoweidlem59  31841  stoweidlem60  31842  wallispi  31852  wallispi2  31855  stirlinglem3  31858  stirlinglem4  31859  stirlinglem8  31863  stirlinglem10  31865  stirlinglem12  31867  stirlinglem15  31870  dirkertrigeqlem2  31881  dirkertrigeqlem3  31882  dirkercncflem2  31886  fourierdlem11  31900  fourierdlem14  31903  fourierdlem15  31904  fourierdlem20  31909  fourierdlem31  31920  fourierdlem64  31953  fourierdlem93  31982  fourierdlem95  31984  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  fourierdlem112  32001  sqwvfourb  32012  etransclem3  32020  etransclem19  32036  etransclem23  32040  etransclem24  32041  etransclem25  32042  etransclem32  32049  etransclem35  32052  etransclem41  32058  etransclem48  32065  ztprmneprm  32936  pgrple2abl  32958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-nn 10562
  Copyright terms: Public domain W3C validator