Theorem nnsub 10599

Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsub

Proof of Theorem nnsub

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4456	. . . . . 6
2		oveq1 6303	. . . . . . 7
3	2	eleq1d 2526	. . . . . 6
4	1, 3	imbi12d 320	. . . . 5
5	4	ralbidv 2896	. . . 4
6		breq2 4456	. . . . . 6
7		oveq1 6303	. . . . . . 7
8	7	eleq1d 2526	. . . . . 6
9	6, 8	imbi12d 320	. . . . 5
10	9	ralbidv 2896	. . . 4
11		breq2 4456	. . . . . 6
12		oveq1 6303	. . . . . . 7
13	12	eleq1d 2526	. . . . . 6
14	11, 13	imbi12d 320	. . . . 5
15	14	ralbidv 2896	. . . 4
16		breq2 4456	. . . . . 6
17		oveq1 6303	. . . . . . 7
18	17	eleq1d 2526	. . . . . 6
19	16, 18	imbi12d 320	. . . . 5
20	19	ralbidv 2896	. . . 4
21		nnnlt1 10591	. . . . . 6
22	21	pm2.21d 106	. . . . 5
23	22	rgen 2817	. . . 4
24		breq1 4455	. . . . . . 7
25		oveq2 6304	. . . . . . . 8
26	25	eleq1d 2526	. . . . . . 7
27	24, 26	imbi12d 320	. . . . . 6
28	27	cbvralv 3084	. . . . 5
29		nncn 10569	. . . . . . . . . . . . 13
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
31		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . . 12
32		pncan 9849	. . . . . . . . . . . 12
33	30, 31, 32	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11
34		simpl 457	. . . . . . . . . . 11
35	33, 34	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . 10
36		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11
37	36	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
38	35, 37	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9
39	38	a1dd 46	. . . . . . . 8
40	39	a1dd 46	. . . . . . 7
41		breq1 4455	. . . . . . . . . 10
42		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11
43	42	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
44	41, 43	imbi12d 320	. . . . . . . . 9
45	44	rspcv 3206	. . . . . . . 8
46		nnre 10568	. . . . . . . . . . 11
47		nnre 10568	. . . . . . . . . . 11
48		1re 9616	. . . . . . . . . . . 12
49		ltsubadd 10047	. . . . . . . . . . . 12
50	48, 49	mp3an2 1312	. . . . . . . . . . 11
51	46, 47, 50	syl2anr 478	. . . . . . . . . 10
52		nncn 10569	. . . . . . . . . . . 12
53		subsub3 9874	. . . . . . . . . . . . 13
54	31, 53	mp3an3 1313	. . . . . . . . . . . 12
55	29, 52, 54	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
56	55	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
57	51, 56	imbi12d 320	. . . . . . . . 9
58	57	biimpd 207	. . . . . . . 8
59	45, 58	syl9r 72	. . . . . . 7
60		nn1m1nn 10581	. . . . . . . 8
61	60	adantl 466	. . . . . . 7
62	40, 59, 61	mpjaod 381	. . . . . 6
63	62	ralrimdva 2875	. . . . 5
64	28, 63	syl5bi 217	. . . 4
65	5, 10, 15, 20, 23, 64	nnind 10579	. . 3
66		breq1 4455	. . . . 5
67		oveq2 6304	. . . . . 6
68	67	eleq1d 2526	. . . . 5
69	66, 68	imbi12d 320	. . . 4
70	69	rspcva 3208	. . 3
71	65, 70	sylan2 474	. 2
72		nngt0 10590	. . 3
73		nnre 10568	. . . 4
74		nnre 10568	. . . 4
75		posdif 10070	. . . 4
76	73, 74, 75	syl2an 477	. . 3
77	72, 76	syl5ibr 221	. 2
78	71, 77	impbid 191	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cmin 9828  cn 10561

This theorem is referenced by:  nnsubi  10600  nn0sub  10871  uz3m2nn  11152  faclbnd4lem4  12374  pythagtriplem13  14351  vdwlem12  14510  perfectlem1  23504  nndivsub  29922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562