MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunb Unicode version

Theorem nnunb 10816
Description: The set of positive integers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnunb
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem nnunb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 882 . . . 4
2 peano2rem 9909 . . . . . . . . . . 11
3 ltm1 10407 . . . . . . . . . . . 12
4 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13
5 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14
6 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . 15
7 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
87rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . 15
96, 8imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14
105, 9imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13
114, 10spcv 3200 . . . . . . . . . . . 12
123, 11syl7 68 . . . . . . . . . . 11
132, 12syl5 32 . . . . . . . . . 10
1413pm2.43d 48 . . . . . . . . 9
15 df-rex 2813 . . . . . . . . 9
1614, 15syl6ib 226 . . . . . . . 8
1716com12 31 . . . . . . 7
18 nnre 10568 . . . . . . . . . . 11
19 1re 9616 . . . . . . . . . . . 12
20 ltsubadd 10047 . . . . . . . . . . . 12
2119, 20mp3an2 1312 . . . . . . . . . . 11
2218, 21sylan2 474 . . . . . . . . . 10
2322pm5.32da 641 . . . . . . . . 9
2423exbidv 1714 . . . . . . . 8
25 peano2nn 10573 . . . . . . . . . 10
26 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
27 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
28 breq2 4456 . . . . . . . . . . . 12
2927, 28anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
3026, 29spcev 3201 . . . . . . . . . 10
3125, 30sylan 471 . . . . . . . . 9
3231exlimiv 1722 . . . . . . . 8
3324, 32syl6bi 228 . . . . . . 7
3417, 33syld 44 . . . . . 6
35 df-ral 2812 . . . . . 6
36 df-ral 2812 . . . . . . . 8
37 alinexa 1663 . . . . . . . 8
3836, 37bitr2i 250 . . . . . . 7
3938con1bii 331 . . . . . 6
4034, 35, 393imtr4g 270 . . . . 5
4140anim2d 565 . . . 4
421, 41mtoi 178 . . 3
4342nrex 2912 . 2
44 nnssre 10565 . . 3
45 1nn 10572 . . . . 5
46 n0i 3789 . . . . 5
4745, 46ax-mp 5 . . . 4
4847neir 2657 . . 3
49 sup2 10524 . . 3
5044, 48, 49mp3an12 1314 . 2
5143, 50mto 176 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cmin 9828   cn 10561
This theorem is referenced by:  arch  10817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562
  Copyright terms: Public domain W3C validator