Theorem nnunifi 7791

Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnunifi

Proof of Theorem nnunifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4257	. . . 4
2		uni0 4276	. . . . 5
3		peano1 6719	. . . . 5
4	2, 3	eqeltri 2541	. . . 4
5	1, 4	syl6eqel 2553	. . 3
6	5	adantl 466	. 2
7		simpll 753	. . 3
8		omsson 6704	. . . . 5
9	7, 8	syl6ss 3515	. . . 4
10		simplr 755	. . . 4
11		simpr 461	. . . 4
12		ordunifi 7790	. . . 4
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1228	. . 3
14	7, 13	sseldd 3504	. 2
15	6, 14	pm2.61dane 2775	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  C_wss 3475  c0 3784  U.cuni 4249  con0 4883  com 6700  cfn 7536

This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  8636  isf32lem5  8758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540