MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzd Unicode version

Theorem nnzd 10993
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzd.1
Assertion
Ref Expression
nnzd

Proof of Theorem nnzd
StepHypRef Expression
1 nnzd.1 . . 3
21nnnn0d 10877 . 2
32nn0zd 10992 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818   cn 10561   cz 10889
This theorem is referenced by:  expaddzlem  12209  expmulz  12212  expmulnbnd  12298  facndiv  12366  bcval5  12396  bcpasc  12399  hashf1  12506  isercolllem1  13487  isercolllem2  13488  o1fsum  13627  bcxmas  13647  climcndslem2  13662  climcnds  13663  mertenslem1  13693  fprodser  13756  eftlub  13844  eirrlem  13937  rpnnen2lem7  13954  rpnnen2lem9  13956  rpnnen2lem11  13958  sqr2irrlem  13981  dvdsfac  14041  dvdsmod  14043  bitsfzolem  14084  bitsmod  14086  bitsfi  14087  bitscmp  14088  bitsinv1  14092  sadadd3  14111  sadaddlem  14116  bitsuz  14124  bitsshft  14125  gcd1  14170  bezoutlem3  14178  bezoutlem4  14179  mulgcd  14184  gcdmultiplez  14189  rplpwr  14194  rppwr  14195  sqgcd  14196  dvdssq  14198  prmz  14221  prmind2  14228  isprm6  14250  prmexpb  14258  prmfac1  14259  divgcdodd  14260  rpexp  14261  rpdvds  14265  numdensq  14287  hashdvds  14305  phiprmpw  14306  crt  14308  phimullem  14309  eulerthlem1  14311  eulerthlem2  14312  prmdivdiv  14317  odzdvds  14322  pythagtriplem4  14343  pythagtriplem6  14345  pythagtriplem7  14346  pythagtriplem11  14349  pythagtriplem13  14351  pythagtriplem19  14357  pclem  14362  pcprendvds2  14365  pcpre1  14366  pcpremul  14367  pceulem  14369  pcqmul  14377  pcdvdsb  14392  pcidlem  14395  pcdvdstr  14399  pcgcd1  14400  pc2dvds  14402  pcprmpw2  14405  pcaddlem  14407  pcadd  14408  pcmpt2  14412  pcmptdvds  14413  pcfac  14418  pcbc  14419  qexpz  14420  prmpwdvds  14422  pockthlem  14423  pockthg  14424  prmreclem2  14435  prmreclem3  14436  prmreclem4  14437  prmreclem5  14438  prmreclem6  14439  4sqlem5  14460  4sqlem8  14463  4sqlem9  14464  4sqlem10  14465  4sqlem12  14474  4sqlem14  14476  4sqlem16  14478  4sqlem17  14479  vdwlem1  14499  vdwlem2  14500  vdwlem3  14501  vdwlem6  14504  vdwlem9  14507  vdwlem10  14508  vdwnnlem3  14515  gsumwsubmcl  16006  gsumccat  16009  gsumwmhm  16013  mulgneg  16160  mulgnndir  16164  psgnunilem4  16522  odlem2  16563  mndodconglem  16565  odmod  16570  gexlem2  16602  gexcl3  16607  gexcl2  16609  sylow1lem1  16618  sylow1lem3  16620  sylow1lem5  16622  pgpfi  16625  fislw  16645  sylow3lem4  16650  gexexlem  16858  ablfacrplem  17116  ablfacrp  17117  ablfacrp2  17118  ablfac1lem  17119  ablfac1b  17121  ablfac1eu  17124  pgpfac1lem3a  17127  ablfaclem3  17138  znrrg  18604  cayhamlem1  19367  caublcls  21747  ovolicc2lem4  21931  iundisj2  21959  volsup  21966  uniioombllem3  21994  mbfi1fseqlem3  22124  mbfi1fseqlem4  22125  elqaalem2  22716  aalioulem1  22728  aalioulem4  22731  aalioulem5  22732  aalioulem6  22733  aaliou  22734  aaliou3lem1  22738  aaliou3lem2  22739  aaliou3lem3  22740  aaliou3lem8  22741  aaliou3lem5  22743  aaliou3lem6  22744  aaliou3lem7  22745  taylthlem2  22769  cxpeq  23131  amgmlem  23319  wilthlem2  23343  wilth  23345  ftalem5  23350  basellem2  23355  basellem3  23356  basellem4  23357  basellem5  23358  muval1  23407  dvdssqf  23412  sgmnncl  23421  efchtdvds  23433  mumullem2  23454  mumul  23455  sqff1o  23456  fsumdvdsdiaglem  23459  dvdsppwf1o  23462  dvdsflf1o  23463  muinv  23469  dvdsmulf1o  23470  chtublem  23486  fsumvma2  23489  vmasum  23491  chpchtsum  23494  logfacubnd  23496  mersenne  23502  perfect1  23503  perfectlem1  23504  perfectlem2  23505  perfect  23506  dchrelbas4  23518  dchrfi  23530  bcmono  23552  bcp1ctr  23554  bclbnd  23555  bposlem1  23559  bposlem3  23561  bposlem5  23563  bposlem6  23564  bposlem9  23567  lgsmod  23596  lgsdir  23605  lgsdilem2  23606  lgsne0  23608  lgsqrlem2  23617  lgsqr  23621  lgseisenlem1  23624  lgseisenlem2  23625  lgseisenlem3  23626  lgseisenlem4  23627  lgsquadlem1  23629  lgsquadlem2  23630  lgsquadlem3  23631  lgsquad2lem1  23633  lgsquad2lem2  23634  lgsquad2  23635  m1lgs  23637  2sqlem3  23641  2sqlem4  23642  2sqlem8  23647  chebbnd1lem1  23654  rplogsumlem2  23670  rpvmasumlem  23672  dchrisumlem1  23674  dchrisumlem2  23675  dchrisumlem3  23676  dchrisum0fmul  23691  dchrisum0ff  23692  dchrisum0flblem1  23693  dchrisum0flblem2  23694  dchrisum0flb  23695  dchrisum0  23705  pntrsumbnd2  23752  pntrlog2bndlem1  23762  pntrlog2bndlem6  23768  pntpbnd2  23772  pntlemg  23783  pntlemj  23788  pntlemf  23790  ostth2lem2  23819  ostth2lem3  23820  ostth3  23823  minvecolem4  25796  iundisj2f  27449  ssnnssfz  27597  iundisj2fi  27602  gcdnncl  27607  numdenneg  27608  ltesubnnd  27612  isarchi3  27731  archiabllem1b  27736  qqhval2  27963  qqhf  27967  qqhghm  27969  qqhrhm  27970  qqhnm  27971  qqhre  27998  esumcvg  28092  meascnbl  28190  oddpwdc  28293  ballotlemfp1  28430  ballotlemfc0  28431  ballotlemfcc  28432  ballotlemimin  28444  ballotlemic  28445  ballotlem1c  28446  lgamgulmlem4  28574  lgamcvg2  28597  subfaclim  28632  cvmliftlem7  28736  sinccvglem  29038  faclimlem2  29169  faclim2  29173  bpolydiflem  29816  mblfinlem2  30052  seqpo  30240  incsequz  30241  incsequz2  30242  irrapxlem3  30760  irrapxlem5  30762  pellexlem5  30769  pellexlem6  30770  pellex  30771  pell1234qrmulcl  30791  jm2.23  30938  jm2.20nn  30939  jm2.26lem3  30943  jm2.27a  30947  jm2.27b  30948  jm2.27c  30949  jm3.1lem1  30959  jm3.1lem3  30961  hashgcdlem  31157  lcmneg  31209  lcmgcdlem  31212  nznngen  31221  hashnzfz2  31226  fmuldfeq  31577  divcnvg  31633  stoweidlem1  31783  stoweidlem3  31785  stoweidlem11  31793  stoweidlem20  31802  stoweidlem26  31808  stoweidlem34  31816  stoweidlem51  31833  stirlinglem4  31859  stirlinglem5  31860  stirlinglem8  31863  dirkerper  31878  dirkertrigeqlem2  31881  dirkertrigeqlem3  31882  dirkercncflem2  31886  fourierdlem11  31900  fourierdlem14  31903  fourierdlem20  31909  fourierdlem25  31914  fourierdlem37  31926  fourierdlem41  31930  fourierdlem48  31937  fourierdlem49  31938  fourierdlem54  31943  fourierdlem64  31953  fourierdlem73  31962  fourierdlem79  31968  fourierdlem92  31981  fourierdlem93  31982  fourierdlem111  32000  sqwvfourb  32012  etransclem3  32020  etransclem7  32024  etransclem10  32027  etransclem15  32032  etransclem24  32041  etransclem25  32042  etransclem26  32043  etransclem27  32044  etransclem28  32045  etransclem35  32052  etransclem37  32054  etransclem38  32055  etransclem41  32058  etransclem44  32061  etransclem45  32062  etransclem48  32065  inductionexd  37967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator