MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noinfep Unicode version

Theorem noinfep 8097
Description: Using the Axiom of Regularity in the form zfregfr 8050, show that there are no infinite descending e.-chains. Proposition 7.34 of [TakeutiZaring] p. 44. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
noinfep
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem noinfep
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8081 . . . . 5
21mptex 6143 . . . 4
32rnex 6734 . . 3
4 zfregfr 8050 . . 3
5 ssid 3522 . . 3
6 dmmptg 5509 . . . . . 6
7 fvex 5881 . . . . . . 7
87a1i 11 . . . . . 6
96, 8mprg 2820 . . . . 5
10 peano1 6719 . . . . . 6
1110ne0ii 3791 . . . . 5
129, 11eqnetri 2753 . . . 4
13 dm0rn0 5224 . . . . 5
1413necon3bii 2725 . . . 4
1512, 14mpbi 208 . . 3
16 fri 4846 . . 3
173, 4, 5, 15, 16mp4an 673 . 2
18 eqid 2457 . . . . . . 7
197, 18fnmpti 5714 . . . . . 6
20 fvelrnb 5920 . . . . . 6
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5
22 peano2 6720 . . . . . . . . . . 11
23 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
24 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
2523, 18, 24fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
2622, 25syl 16 . . . . . . . . . 10
27 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . 11
2819, 22, 27sylancr 663 . . . . . . . . . 10
2926, 28eqeltrrd 2546 . . . . . . . . 9
30 epel 4799 . . . . . . . . . . . . 13
31 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13
3230, 31syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12
3332notbid 294 . . . . . . . . . . 11
34 df-nel 2655 . . . . . . . . . . 11
3533, 34syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10
3635rspccv 3207 . . . . . . . . 9
3729, 36syl5com 30 . . . . . . . 8
38 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
39 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
4038, 18, 39fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
41 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11
4240, 41syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10
43 neleq2 2797 . . . . . . . . . . 11
4443biimpd 207 . . . . . . . . . 10
4542, 44syl6 33 . . . . . . . . 9
4645com23 78 . . . . . . . 8
4737, 46syld 44 . . . . . . 7
4847com12 31 . . . . . 6
4948reximdvai 2929 . . . . 5
5021, 49syl5bi 217 . . . 4
5150com12 31 . . 3
5251rexlimiv 2943 . 2
5317, 52ax-mp 5 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e/wnel 2653  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794  Frwfr 4840  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  `cfv 5593   com 6700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701
  Copyright terms: Public domain W3C validator