Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noinfepOLD Unicode version

Theorem noinfepOLD 8098
 Description: Using the Axiom of Regularity in the form zfregfr 8050, show that there are no infinite descending e.-chains. Proposition 7.34 of [TakeutiZaring] p. 44. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
noinfepOLD
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem noinfepOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fndm 5685 . . . . 5
2 omex 8081 . . . . 5
31, 2syl6eqel 2553 . . . 4
4 fnfun 5683 . . . 4
5 funrnex 6767 . . . 4
63, 4, 5sylc 60 . . 3
7 peano1 6719 . . . . . . 7
8 eleq2 2530 . . . . . . 7
97, 8mpbiri 233 . . . . . 6
10 ne0i 3790 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
12 dm0rn0 5224 . . . . . 6
1312necon3bii 2725 . . . . 5
1411, 13sylib 196 . . . 4
151, 14syl 16 . . 3
16 zfregfr 8050 . . . 4
17 ssid 3522 . . . . 5
18 fri 4846 . . . . 5
1917, 18mpanr1 683 . . . 4
2016, 19mpanl2 681 . . 3
216, 15, 20syl2anc 661 . 2
22 fvelrnb 5920 . . . . . . 7
2322adantr 465 . . . . . 6
24 peano2 6720 . . . . . . . . 9
25 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . 12
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
27 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
2826, 27jca 532 . . . . . . . . . 10
29 epel 4799 . . . . . . . . . . . . . 14
30 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14
3129, 30syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . 13
3231notbid 294 . . . . . . . . . . . 12
3332rspcva 3208 . . . . . . . . . . 11
34 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . 12
3534notbid 294 . . . . . . . . . . 11
3633, 35syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10
3728, 36syl5 32 . . . . . . . . 9
3824, 37sylan2i 655 . . . . . . . 8
3938com12 31 . . . . . . 7
4039reximdva 2932 . . . . . 6
4123, 40sylbid 215 . . . . 5
4241ex 434 . . . 4
4342com23 78 . . 3
4443rexlimdv 2947 . 2
4521, 44mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452   cep 4794  Frwfr 4840  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593   com 6700 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701
 Copyright terms: Public domain W3C validator