Theorem nqereq 9334

Description: The function acts as a substitute for equivalence classes, and it satisfies the fundamental requirement for equivalence representatives: the representatives are equal iff the members are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqereq

Proof of Theorem nqereq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqercl 9330	. . . . 5
2	1	3ad2ant1 1017	. . . 4
3		nqercl 9330	. . . . 5
4	3	3ad2ant2 1018	. . . 4
5		enqer 9320	. . . . . 6
6	5	a1i 11	. . . . 5
7		nqerrel 9331	. . . . . . 7
8	7	3ad2ant1 1017	. . . . . 6
9		simp3 998	. . . . . 6
10	6, 8, 9	ertr3d 7348	. . . . 5
11		nqerrel 9331	. . . . . 6
12	11	3ad2ant2 1018	. . . . 5
13	6, 10, 12	ertrd 7346	. . . 4
14		enqeq 9333	. . . 4
15	2, 4, 13, 14	syl3anc 1228	. . 3
16	15	3expia 1198	. 2
17	5	a1i 11	. . . 4
18	7	adantr 465	. . . . 5
19		simprr 757	. . . . 5
20	18, 19	breqtrd 4476	. . . 4
21	11	ad2antrl 727	. . . 4
22	17, 20, 21	ertr4d 7349	. . 3
23	22	expr 615	. 2
24	16, 23	impbid 191	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  Erwer 7327  cnpi 9243  ceq 9250  cnq 9251  cerq 9253

This theorem is referenced by:  adderpq  9355  mulerpq  9356  distrnq  9360  recmulnq  9363  ltexnq  9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-1nq 9315