MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqerf Unicode version

Theorem nqerf 9329
Description: Corollary of nqereu 9328: the function is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerf

Proof of Theorem nqerf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-erq 9312 . . . . . . 7
2 inss2 3718 . . . . . . 7
31, 2eqsstri 3533 . . . . . 6
4 xpss 5114 . . . . . 6
53, 4sstri 3512 . . . . 5
6 df-rel 5011 . . . . 5
75, 6mpbir 209 . . . 4
8 nqereu 9328 . . . . . . . 8
9 df-reu 2814 . . . . . . . . 9
10 eumo 2313 . . . . . . . . 9
119, 10sylbi 195 . . . . . . . 8
128, 11syl 16 . . . . . . 7
13 moanimv 2352 . . . . . . 7
1412, 13mpbir 209 . . . . . 6
153brel 5053 . . . . . . . . 9
1615simpld 459 . . . . . . . 8
1715simprd 463 . . . . . . . 8
18 enqer 9320 . . . . . . . . . 10
1918a1i 11 . . . . . . . . 9
20 inss1 3717 . . . . . . . . . . 11
211, 20eqsstri 3533 . . . . . . . . . 10
2221ssbri 4494 . . . . . . . . 9
2319, 22ersym 7342 . . . . . . . 8
2416, 17, 23jca32 535 . . . . . . 7
2524moimi 2340 . . . . . 6
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5
2726ax-gen 1618 . . . 4
28 dffun6 5608 . . . 4
297, 27, 28mpbir2an 920 . . 3
30 dmss 5207 . . . . . 6
313, 30ax-mp 5 . . . . 5
32 1nq 9327 . . . . . 6
33 ne0i 3790 . . . . . 6
34 dmxp 5226 . . . . . 6
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . 5
3631, 35sseqtri 3535 . . . 4
37 reurex 3074 . . . . . . . 8
38 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
39 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
4018a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
41 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41ersym 7342 . . . . . . . . . . 11
431breqi 4458 . . . . . . . . . . . 12
44 brinxp2 5066 . . . . . . . . . . . 12
4543, 44bitri 249 . . . . . . . . . . 11
4638, 39, 42, 45syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . 10
4746ex 434 . . . . . . . . 9
4847reximdva 2932 . . . . . . . 8
49 rexex 2914 . . . . . . . 8
5037, 48, 49syl56 34 . . . . . . 7
518, 50mpd 15 . . . . . 6
52 vex 3112 . . . . . . 7
5352eldm 5205 . . . . . 6
5451, 53sylibr 212 . . . . 5
5554ssriv 3507 . . . 4
5636, 55eqssi 3519 . . 3
57 df-fn 5596 . . 3
5829, 56, 57mpbir2an 920 . 2
59 rnss 5236 . . . 4
603, 59ax-mp 5 . . 3
61 rnxpss 5444 . . 3
6260, 61sstri 3512 . 2
63 df-f 5597 . 2
6458, 62, 63mpbir2an 920 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  E*wmo 2283  =/=wne 2652  E.wrex 2808  E!wreu 2809   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  Erwer 7327   cnpi 9243   ceq 9250   cnq 9251   c1q 9252   cerq 9253
This theorem is referenced by:  nqercl  9330  nqerrel  9331  nqerid  9332  addnqf  9347  mulnqf  9348  adderpq  9355  mulerpq  9356  lterpq  9369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-1nq 9315
  Copyright terms: Public domain W3C validator