Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqpr Unicode version

Theorem nqpr 9413
 Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqpr
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem nqpr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnq 9376 . . . . 5
2 abn0 3804 . . . . 5
31, 2sylibr 212 . . . 4
4 0pss 3864 . . . 4
53, 4sylibr 212 . . 3
6 ltrelnq 9325 . . . . . . 7
76brel 5053 . . . . . 6
87simpld 459 . . . . 5
98abssi 3574 . . . 4
10 ltsonq 9368 . . . . . . 7
1110, 6soirri 5398 . . . . . 6
12 breq1 4455 . . . . . . 7
1312elabg 3247 . . . . . 6
1411, 13mtbiri 303 . . . . 5
1514ancli 551 . . . 4
16 ssnelpss 3890 . . . 4
179, 15, 16mpsyl 63 . . 3
185, 17jca 532 . 2
19 vex 3112 . . . . 5
20 breq1 4455 . . . . 5
2119, 20elab 3246 . . . 4
2210, 6sotri 5399 . . . . . . . . 9
2322expcom 435 . . . . . . . 8
2423adantl 466 . . . . . . 7
25 vex 3112 . . . . . . . 8
26 breq1 4455 . . . . . . . 8
2725, 26elab 3246 . . . . . . 7
2824, 27syl6ibr 227 . . . . . 6
2928alrimiv 1719 . . . . 5
30 ltbtwnnq 9377 . . . . . . . 8
3127anbi2i 694 . . . . . . . . . . 11
3231biimpri 206 . . . . . . . . . 10
3332ancomd 451 . . . . . . . . 9
3433eximi 1656 . . . . . . . 8
3530, 34sylbi 195 . . . . . . 7
3635adantl 466 . . . . . 6
37 df-rex 2813 . . . . . 6
3836, 37sylibr 212 . . . . 5
3929, 38jca 532 . . . 4
4021, 39sylan2b 475 . . 3
4140ralrimiva 2871 . 2
42 elnp 9386 . 2
4318, 41, 42sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784   class class class wbr 4452   cnq 9251   cltq 9257   cnp 9258 This theorem is referenced by:  1pr  9414 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380
 Copyright terms: Public domain W3C validator