Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruc Unicode version

Theorem nthruc 13984
 Description: The sequence , , , , and forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to but not , one-half belongs to but not , the square root of 2 belongs to but not , and finally that the imaginary number belongs to but not . See nthruz 13985 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nthruc

Proof of Theorem nthruc
StepHypRef Expression
1 nnssz 10909 . . . 4
2 0z 10900 . . . . 5
3 0nnn 10592 . . . . 5
42, 3pm3.2i 455 . . . 4
5 ssnelpss 3890 . . . 4
61, 4, 5mp2 9 . . 3
7 zssq 11218 . . . 4
8 1z 10919 . . . . . 6
9 2nn 10718 . . . . . 6
10 znq 11215 . . . . . 6
118, 9, 10mp2an 672 . . . . 5
12 halfnz 10966 . . . . 5
1311, 12pm3.2i 455 . . . 4
14 ssnelpss 3890 . . . 4
157, 13, 14mp2 9 . . 3
166, 15pm3.2i 455 . 2
17 qssre 11221 . . . 4
18 sqrt2re 13983 . . . . 5
19 sqrt2irr 13982 . . . . . 6
2019neli 2792 . . . . 5
2118, 20pm3.2i 455 . . . 4
22 ssnelpss 3890 . . . 4
2317, 21, 22mp2 9 . . 3
24 ax-resscn 9570 . . . 4
25 ax-icn 9572 . . . . 5
26 inelr 10551 . . . . 5
2725, 26pm3.2i 455 . . . 4
28 ssnelpss 3890 . . . 4
2924, 27, 28mp2 9 . . 3
3023, 29pm3.2i 455 . 2
3116, 30pm3.2i 455 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  /\wa 369  e.wcel 1818  C_wss 3475  C.wpss 3476  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   cdiv 10231   cn 10561  2`c2 10610   cz 10889   cq 11211   csqrt 13066 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
 Copyright terms: Public domain W3C validator