Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrivcvg Unicode version

Theorem ntrivcvg 27114
Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvg.1
ntrivcvg.2
ntrivcvg.3
Assertion
Ref Expression
ntrivcvg
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   ,M, ,   , ,   , ,

Proof of Theorem ntrivcvg
StepHypRef Expression
1 ntrivcvg.2 . 2
2 uzm1 10836 . . . . . . . . 9
3 ntrivcvg.1 . . . . . . . . 9
42, 3eleq2s 2514 . . . . . . . 8
54ad2antlr 711 . . . . . . 7
6 seqeq1 11750 . . . . . . . . . . 11
76breq1d 4277 . . . . . . . . . 10
8 seqex 11749 . . . . . . . . . . 11
9 vex 2954 . . . . . . . . . . 11
108, 9breldm 5015 . . . . . . . . . 10
117, 10syl6bi 222 . . . . . . . . 9
1211adantld 457 . . . . . . . 8
13 simplr 739 . . . . . . . . . . . . 13
14 ntrivcvg.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514adantlr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615adantlr 699 . . . . . . . . . . . . . 14
1716adantlr 699 . . . . . . . . . . . . 13
18 uzssz 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
193, 18eqsstri 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20 simplr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2119, 20sseldi 3331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2221zcnd 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 ax-1cn 9286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2522, 24npcand 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625seqeq1d 11753 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726breq1d 4277 . . . . . . . . . . . . . 14
2827biimpar 475 . . . . . . . . . . . . 13
293, 13, 17, 28clim2prod 27105 . . . . . . . . . . . 12
30 ovex 6086 . . . . . . . . . . . . 13
318, 30breldm 5015 . . . . . . . . . . . 12
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11
3332an32s 787 . . . . . . . . . 10
3433expcom 428 . . . . . . . . 9
353eqcomi 2426 . . . . . . . . 9
3634, 35eleq2s 2514 . . . . . . . 8
3712, 36jaoi 372 . . . . . . 7
385, 37mpcom 35 . . . . . 6
3938ex 427 . . . . 5
4039adantld 457 . . . 4
4140exlimdv 1681 . . 3
4241rexlimdva 2820 . 2
431, 42mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 361  /\wa 362  E.wex 1581  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  E.wrex 2695   class class class wbr 4267  domcdm 4811  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   cmin 9541   cz 10591   cuz 10806  seqcseq 11747   cli 12903
This theorem is referenced by:  iprodclim2  27201  iprodcl  27203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-fz 11382  df-seq 11748  df-exp 11807  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907
  Copyright terms: Public domain W3C validator