MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvg Unicode version

Theorem ntrivcvg 13706
Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvg.1
ntrivcvg.2
ntrivcvg.3
Assertion
Ref Expression
ntrivcvg
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   ,M, ,   , ,   , ,

Proof of Theorem ntrivcvg
StepHypRef Expression
1 ntrivcvg.2 . 2
2 uzm1 11140 . . . . . . . . 9
3 ntrivcvg.1 . . . . . . . . 9
42, 3eleq2s 2565 . . . . . . . 8
54ad2antlr 726 . . . . . . 7
6 seqeq1 12110 . . . . . . . . . . 11
76breq1d 4462 . . . . . . . . . 10
8 seqex 12109 . . . . . . . . . . 11
9 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
108, 9breldm 5212 . . . . . . . . . 10
117, 10syl6bi 228 . . . . . . . . 9
1211adantld 467 . . . . . . . 8
13 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13
14 ntrivcvg.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
1716adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
18 uzssz 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
193, 18eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2119, 20sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2221zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2422, 23npcand 9958 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524seqeq1d 12113 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . 14
2726biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13
283, 13, 17, 27clim2prod 13697 . . . . . . . . . . . 12
29 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13
308, 29breldm 5212 . . . . . . . . . . . 12
3128, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11
3231an32s 804 . . . . . . . . . 10
3332expcom 435 . . . . . . . . 9
343eqcomi 2470 . . . . . . . . 9
3533, 34eleq2s 2565 . . . . . . . 8
3612, 35jaoi 379 . . . . . . 7
375, 36mpcom 36 . . . . . 6
3837ex 434 . . . . 5
3938adantld 467 . . . 4
4039exlimdv 1724 . . 3
4140rexlimdva 2949 . 2
421, 41mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110  seqcseq 12107   cli 13307
This theorem is referenced by:  iprodclim2  13792  iprodcl  13794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311
  Copyright terms: Public domain W3C validator