Theorem ntrivcvgfvn0 13708

Description: Any value of a product sequence that converges to a non-zero value is itself non-zero. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgfvn0.1
ntrivcvgfvn0.2
ntrivcvgfvn0.3
ntrivcvgfvn0.4
ntrivcvgfvn0.5

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgfvn0

Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem ntrivcvgfvn0

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgfvn0.4	. 2
2		fclim 13376	. . . . . . . 8
3		ffun 5738	. . . . . . . 8
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7
5		ntrivcvgfvn0.3	. . . . . . 7
6		funbrfv 5911	. . . . . . 7
7	4, 5, 6	mpsyl 63	. . . . . 6
8	7	adantr 465	. . . . 5
9		eqid 2457	. . . . . . 7
10		ntrivcvgfvn0.1	. . . . . . . . . 10
11		uzssz 11129	. . . . . . . . . 10
12	10, 11	eqsstri 3533	. . . . . . . . 9
13		ntrivcvgfvn0.2	. . . . . . . . 9
14	12, 13	sseldi 3501	. . . . . . . 8
15	14	adantr 465	. . . . . . 7
16		seqex 12109	. . . . . . . 8
17	16	a1i 11	. . . . . . 7
18		0cnd 9610	. . . . . . 7
19		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
20	19	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . 10
21	20	imbi2d 316	. . . . . . . . 9
22		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
23	22	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . 10
24	23	imbi2d 316	. . . . . . . . 9
25		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
26	25	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . 10
27	26	imbi2d 316	. . . . . . . . 9
28		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
29	28	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . 10
30	29	imbi2d 316	. . . . . . . . 9
31		simpr 461	. . . . . . . . . 10
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9
33	13, 10	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34		uztrn 11126	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	33, 34	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	35	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . . 14
37		seqp1 12122	. . . . . . . . . . . . . 14
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
39		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . 14
40	39	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . 13
41		peano2uz 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42	10	uztrn2 11127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43	13, 41, 42	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44		ntrivcvgfvn0.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
45	44	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
46		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
47	46	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48	47	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
49	45, 48	mpan9 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
50	43, 49	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16
51	50	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . 15
52	51	mul02d 9799	. . . . . . . . . . . . . 14
53	52	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . 13
54	38, 40, 53	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . . 12
55	54	3exp 1195	. . . . . . . . . . 11
56	55	adantrd 468	. . . . . . . . . 10
57	56	a2d 26	. . . . . . . . 9
58	21, 24, 27, 30, 32, 57	uzind4 11168	. . . . . . . 8
59	58	impcom 430	. . . . . . 7
60	9, 15, 17, 18, 59	climconst 13366	. . . . . 6
61		funbrfv 5911	. . . . . 6
62	4, 60, 61	mpsyl 63	. . . . 5
63	8, 62	eqtr3d 2500	. . . 4
64	63	ex 434	. . 3
65	64	necon3d 2681	. 2
66	1, 65	mpd 15	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  cvv 3109   class class class wbr 4452  domcdm 5004  Funwfun 5587  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cz 10889  cuz 11110  seqcseq 12107  cli 13307

This theorem is referenced by:  ntrivcvgtail  13709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311