Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numacn Unicode version

Theorem numacn 8451
 Description: A well-orderable set has choice sequences of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numacn

Proof of Theorem numacn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . 2
2 simpll 753 . . . . . . . 8
3 elmapi 7460 . . . . . . . . . . . 12
43adantl 466 . . . . . . . . . . 11
5 frn 5742 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10
76difss2d 3633 . . . . . . . . 9
8 sspwuni 4416 . . . . . . . . 9
97, 8sylib 196 . . . . . . . 8
10 ssnum 8441 . . . . . . . 8
112, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . 7
12 ssdifin0 3909 . . . . . . . . 9
136, 12syl 16 . . . . . . . 8
14 disjsn 4090 . . . . . . . 8
1513, 14sylib 196 . . . . . . 7
16 ac5num 8438 . . . . . . 7
1711, 15, 16syl2anc 661 . . . . . 6
18 simpllr 760 . . . . . . 7
19 ffn 5736 . . . . . . . . . . 11
204, 19syl 16 . . . . . . . . . 10
21 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
22 id 22 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22eleq12d 2539 . . . . . . . . . . 11
2423ralrn 6034 . . . . . . . . . 10
2520, 24syl 16 . . . . . . . . 9
2625biimpa 484 . . . . . . . 8
2726adantrl 715 . . . . . . 7
28 acnlem 8450 . . . . . . 7
2918, 27, 28syl2anc 661 . . . . . 6
3017, 29exlimddv 1726 . . . . 5
3130ralrimiva 2871 . . . 4
32 isacn 8446 . . . 4
3331, 32mpbird 232 . . 3
3433expcom 435 . 2
351, 34syl 16 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439   ccrd 8337  AC_`wacn 8340 This theorem is referenced by:  acnnum  8454  fodomnum  8459  acacni  8541  dfac13  8543  iundom  8938  iunctb  8970 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-card 8341  df-acn 8344
 Copyright terms: Public domain W3C validator