MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvocnv Unicode version

Theorem nvocnv 6187
Description: The converse of an involution is the function itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
nvocnv
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem nvocnv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 757 . . . . . 6
2 simpll 753 . . . . . . 7
3 simprl 756 . . . . . . 7
42, 3ffvelrnd 6032 . . . . . 6
51, 4eqeltrd 2545 . . . . 5
61fveq2d 5875 . . . . . 6
7 simplr 755 . . . . . . 7
8 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
98fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
10 id 22 . . . . . . . . 9
119, 10eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
1211rspcv 3206 . . . . . . 7
133, 7, 12sylc 60 . . . . . 6
146, 13eqtr2d 2499 . . . . 5
155, 14jca 532 . . . 4
16 simprr 757 . . . . . 6
17 simpll 753 . . . . . . 7
18 simprl 756 . . . . . . 7
1917, 18ffvelrnd 6032 . . . . . 6
2016, 19eqeltrd 2545 . . . . 5
2116fveq2d 5875 . . . . . 6
22 simplr 755 . . . . . . 7
23 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
2423fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
25 id 22 . . . . . . . . 9
2624, 25eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
2726rspcv 3206 . . . . . . 7
2818, 22, 27sylc 60 . . . . . 6
2921, 28eqtr2d 2499 . . . . 5
3020, 29jca 532 . . . 4
3115, 30impbida 832 . . 3
3231mptcnv 5413 . 2
33 ffn 5736 . . . 4
34 dffn5 5918 . . . . . 6
3534biimpi 194 . . . . 5
3635adantr 465 . . . 4
3733, 36sylan 471 . . 3
3837cnveqd 5183 . 2
39 dffn5 5918 . . . . 5
4039biimpi 194 . . . 4
4140adantr 465 . . 3
4233, 41sylan 471 . 2
4332, 38, 423eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  mirf1o  24049  lmif1o  24160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator