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Theorem o1lo1 13360
Description: A real function is eventually bounded iff it is eventually lower bounded and eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
o1lo1.1
Assertion
Ref Expression
o1lo1
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem o1lo1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 13353 . . 3
21a1i 11 . 2
3 lo1dm 13342 . . . 4
43adantr 465 . . 3
54a1i 11 . 2
6 o1lo1.1 . . . . . 6
76ralrimiva 2871 . . . . 5
8 dmmptg 5509 . . . . 5
97, 8syl 16 . . . 4
109sseq1d 3530 . . 3
11 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
126adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1312adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1513, 14absled 13262 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17 lenegcon1 10081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1814, 13, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2016, 19syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2115, 20bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14
2322ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . 13
2423rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12
2524biimpd 207 . . . . . . . . . . 11
26 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14
2928rexralbidv 2976 . . . . . . . . . . . . 13
30 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14
3332rexralbidv 2976 . . . . . . . . . . . . 13
3429, 33rspc2ev 3221 . . . . . . . . . . . 12
35343anidm12 1285 . . . . . . . . . . 11
3611, 25, 35syl6an 545 . . . . . . . . . 10
3736rexlimdva 2949 . . . . . . . . 9
38 simplrr 762 . . . . . . . . . . . 12
39 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39ifclda 3973 . . . . . . . . . . 11
41 max2 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4312adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4443renegcld 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
46 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4745, 46ifcld 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48 letr 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4944, 45, 47, 48syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5042, 49mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51 lenegcon1 10081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5243, 47, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5350, 52sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 max1 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56 letr 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5743, 46, 47, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5855, 57mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5953, 58anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059ancomsd 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
6143, 47absled 13262 . . . . . . . . . . . . . . 15
6260, 61sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . 14
6362imim2d 52 . . . . . . . . . . . . 13
6463ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . 12
6564reximdv 2931 . . . . . . . . . . 11
66 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . 14
6766imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . 13
6867rexralbidv 2976 . . . . . . . . . . . 12
6968rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11
7040, 65, 69syl6an 545 . . . . . . . . . 10
7170rexlimdvva 2956 . . . . . . . . 9
7237, 71impbid 191 . . . . . . . 8
73 rexanre 13179 . . . . . . . . . 10
7473adantl 466 . . . . . . . . 9
75742rexbidv 2975 . . . . . . . 8
7672, 75bitrd 253 . . . . . . 7
77 reeanv 3025 . . . . . . 7
7876, 77syl6bb 261 . . . . . 6
79 rexcom 3019 . . . . . 6
80 rexcom 3019 . . . . . . 7
81 rexcom 3019 . . . . . . 7
8280, 81anbi12i 697 . . . . . 6
8378, 79, 823bitr4g 288 . . . . 5
84 simpr 461 . . . . . 6
8512recnd 9643 . . . . . 6
8684, 85elo1mpt 13357 . . . . 5
8784, 12ello1mpt 13344 . . . . . 6
8812renegcld 10011 . . . . . . 7
8984, 88ello1mpt 13344 . . . . . 6
9087, 89anbi12d 710 . . . . 5
9183, 86, 903bitr4d 285 . . . 4
9291ex 434 . . 3
9310, 92sylbid 215 . 2
942, 5, 93pm5.21ndd 354 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  `cfv 5593   cr 9512   cle 9650  -ucneg 9829   cabs 13067   co1 13309   clo1 13310
This theorem is referenced by:  o1lo12  13361  o1lo1d  13362  icco1  13363  lo1sub  13453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-o1 13313  df-lo1 13314
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