MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1mul2 Unicode version

Theorem o1mul2 13043
Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1
o1add2.2
o1add2.3
o1add2.4
Assertion
Ref Expression
o1mul2
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem o1mul2
StepHypRef Expression
1 o1add2.1 . . . . . . 7
21ralrimiva 2778 . . . . . 6
3 dmmptg 5307 . . . . . 6
42, 3syl 16 . . . . 5
5 o1add2.3 . . . . . 6
6 o1dm 12949 . . . . . 6
75, 6syl 16 . . . . 5
84, 7eqsstr3d 3368 . . . 4
9 reex 9319 . . . . 5
109ssex 4411 . . . 4
118, 10syl 16 . . 3
12 o1add2.2 . . 3
13 eqidd 2423 . . 3
14 eqidd 2423 . . 3
1511, 1, 12, 13, 14offval2 6306 . 2
16 o1add2.4 . . 3
17 o1mul 13033 . . 3
185, 16, 17syl2anc 646 . 2
1915, 18eqeltrrd 2497 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694   cvv 2951  C_wss 3305  e.cmpt 4325  domcdm 4811  (class class class)co 6061  oFcof 6288   cr 9227   cmul 9233   co1 12905
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  22488  dchrvmasumiflem2  22492  dchrisum0fno1  22501  rpvmasum2  22502  dchrisum0lem1  22506  dchrisum0lem2a  22507  dchrisum0lem2  22508  dchrmusumlem  22512  rplogsum  22517  dirith2  22518  mulogsumlem  22521  mulog2sumlem2  22525  mulog2sumlem3  22526  vmalogdivsum2  22528  2vmadivsumlem  22530  selberglem1  22535  selberg3lem1  22547  selberg4lem1  22550  selberg4  22551  selberg3r  22559  selberg4r  22560  selberg34r  22561  pntrlog2bndlem2  22568  pntrlog2bndlem3  22569  pntrlog2bndlem4  22570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-pm 7178  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-ico 11251  df-seq 11748  df-exp 11807  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-o1 12909
  Copyright terms: Public domain W3C validator