Theorem o1of2 13435

Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1of2.1
o1of2.2
o1of2.3

Assertion

Ref	Expression
o1of2

Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,M,

Proof of Theorem o1of2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1f 13352	. . . 4
2		o1bdd 13354	. . . 4
3	1, 2	mpdan 668	. . 3
4	3	adantr 465	. 2
5		o1f 13352	. . . 4
6		o1bdd 13354	. . . 4
7	5, 6	mpdan 668	. . 3
8	7	adantl 466	. 2
9		reeanv 3025	. . 3
10		reeanv 3025	. . . . 5
11		inss1 3717	. . . . . . . . . 10
12		ssralv 3563	. . . . . . . . . 10
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
14		inss2 3718	. . . . . . . . . 10
15		ssralv 3563	. . . . . . . . . 10
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
17	13, 16	anim12i 566	. . . . . . . 8
18		r19.26 2984	. . . . . . . 8
19	17, 18	sylibr 212	. . . . . . 7
20		prth 571	. . . . . . . . . 10
21		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . 14
22	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
23		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
25		o1dm 13353	. . . . . . . . . . . . . . . 16
26	25	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	11, 26	syl5ss 3514	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	sselda 3503	. . . . . . . . . . . . 13
29		maxle 11420	. . . . . . . . . . . . 13
30	22, 24, 28, 29	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12
31	30	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11
32	1	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14
33	11	sseli 3499	. . . . . . . . . . . . . 14
34		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . 14
35	32, 33, 34	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13
36	5	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . 14
37	14	sseli 3499	. . . . . . . . . . . . . 14
38		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . 14
39	36, 37, 38	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13
40		o1of2.3	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	ralrimivva 2878	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13
43		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	43	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45	44	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
47	46	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48	47	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . . 15
49	45, 48	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14
50		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
51	50	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . . . 16
52	51	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . 15
53		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54	53	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55	54	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . . 15
56	52, 55	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14
57	49, 56	rspc2va 3220	. . . . . . . . . . . . 13
58	35, 39, 42, 57	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . 12
59		ffn 5736	. . . . . . . . . . . . . . . 16
60	32, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
61		ffn 5736	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62	36, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
63		reex 9604	. . . . . . . . . . . . . . . 16
64		ssexg 4598	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65	26, 63, 64	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15
66		dmexg 6731	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	66	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15
68		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15
69		eqidd 2458	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		eqidd 2458	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	60, 62, 65, 67, 68, 69, 70	ofval 6549	. . . . . . . . . . . . . 14
72	71	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . 13
73	72	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . 12
74	58, 73	sylibrd 234	. . . . . . . . . . 11
75	31, 74	imim12d 74	. . . . . . . . . 10
76	20, 75	syl5 32	. . . . . . . . 9
77	76	ralimdva 2865	. . . . . . . 8
78		o1of2.2	. . . . . . . . . . 11
79	78	adantl 466	. . . . . . . . . 10
80	79, 32, 36, 65, 67, 68	off 6554	. . . . . . . . 9
81	23, 21	ifcld 3984	. . . . . . . . 9
82		o1of2.1	. . . . . . . . . 10
83	82	adantl 466	. . . . . . . . 9
84		elo12r 13351	. . . . . . . . . 10
85	84	3expia 1198	. . . . . . . . 9
86	80, 27, 81, 83, 85	syl22anc 1229	. . . . . . . 8
87	77, 86	syld 44	. . . . . . 7
88	19, 87	syl5 32	. . . . . 6
89	88	rexlimdvva 2956	. . . . 5
90	10, 89	syl5bir 218	. . . 4
91	90	rexlimdvva 2956	. . 3
92	9, 91	syl5bir 218	. 2
93	4, 8, 92	mp2and 679	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  oFcof 6538  cc 9511  cr 9512  cle 9650  cabs 13067  co1 13309

This theorem is referenced by:  o1add  13436  o1mul  13437  o1sub  13438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6540  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564  df-o1 13313