Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1resb Unicode version

Theorem o1resb 13389
 Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1
rlimresb.2
rlimresb.3
Assertion
Ref Expression
o1resb

Proof of Theorem o1resb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1res 13383 . 2
2 rlimresb.1 . . . . . . 7
32feqmptd 5926 . . . . . 6
43reseq1d 5277 . . . . 5
5 resmpt3 5329 . . . . 5
64, 5syl6eq 2514 . . . 4
76eleq1d 2526 . . 3
8 inss1 3717 . . . . . 6
9 rlimresb.2 . . . . . 6
108, 9syl5ss 3514 . . . . 5
118sseli 3499 . . . . . 6
12 ffvelrn 6029 . . . . . 6
132, 11, 12syl2an 477 . . . . 5
1410, 13elo1mpt 13357 . . . 4
15 elin 3686 . . . . . . . . . 10
1615imbi1i 325 . . . . . . . . 9
17 impexp 446 . . . . . . . . 9
1816, 17bitri 249 . . . . . . . 8
19 impexp 446 . . . . . . . . . 10
20 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
229adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . 14
24 elicopnf 11649 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524baibd 909 . . . . . . . . . . . . . 14
2621, 23, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
2726anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12
28 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . 13
29 maxle 11420 . . . . . . . . . . . . 13
3021, 28, 23, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
3127, 30bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11
3231imbi1d 317 . . . . . . . . . 10
3319, 32syl5bbr 259 . . . . . . . . 9
3433pm5.74da 687 . . . . . . . 8
3518, 34syl5bb 257 . . . . . . 7
3635ralbidv2 2892 . . . . . 6
372adantr 465 . . . . . . 7
38 simprl 756 . . . . . . . 8
3920adantr 465 . . . . . . . 8
4038, 39ifcld 3984 . . . . . . 7
41 simprr 757 . . . . . . 7
42 elo12r 13351 . . . . . . . 8
43423expia 1198 . . . . . . 7
4437, 22, 40, 41, 43syl22anc 1229 . . . . . 6
4536, 44sylbid 215 . . . . 5
4645rexlimdvva 2956 . . . 4
4714, 46sylbid 215 . . 3
487, 47sylbid 215 . 2
491, 48impbid2 204 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  |cres 5006  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512   cpnf 9646   cle 9650   cico 11560   cabs 13067   co1 13309 This theorem is referenced by:  chpo1ub  23665  dchrisum0lem2a  23702  pntrsumo1  23750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-o1 13313  df-lo1 13314
 Copyright terms: Public domain W3C validator