Theorem oa0r 7207

Description: Ordinal addition with zero. Proposition 8.3 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
oa0r

Proof of Theorem oa0r

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . 3
2		id 22	. . 3
3	1, 2	eqeq12d 2479	. 2
4		oveq2 6304	. . 3
5		id 22	. . 3
6	4, 5	eqeq12d 2479	. 2
7		oveq2 6304	. . 3
8		id 22	. . 3
9	7, 8	eqeq12d 2479	. 2
10		oveq2 6304	. . 3
11		id 22	. . 3
12	10, 11	eqeq12d 2479	. 2
13		0elon 4936	. . 3
14		oa0 7185	. . 3
15	13, 14	ax-mp 5	. 2
16		oasuc 7193	. . . . 5
17	13, 16	mpan 670	. . . 4
18		suceq 4948	. . . 4
19	17, 18	sylan9eq 2518	. . 3
20	19	ex 434	. 2
21		iuneq2 4347	. . . 4
22		uniiun 4383	. . . 4
23	21, 22	syl6eqr 2516	. . 3
24		vex 3112	. . . . 5
25		oalim 7201	. . . . . 6
26	13, 25	mpan 670	. . . . 5
27	24, 26	mpan 670	. . . 4
28		limuni 4943	. . . 4
29	27, 28	eqeq12d 2479	. . 3
30	23, 29	syl5ibr 221	. 2
31	3, 6, 9, 12, 15, 20, 30	tfinds 6694	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  c0 3784  U.cuni 4249  U_ciun 4330  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296  coa 7146

This theorem is referenced by:  om1  7210  oaword2  7221  oeeui  7270  oaabs2  7313  cantnfp1  8121  cantnfp1OLD  8147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153