Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaabs Unicode version

Theorem oaabs 7312
 Description: Ordinal addition absorbs a natural number added to the left of a transfinite number. Proposition 8.10 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 9-Dec-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oaabs

Proof of Theorem oaabs
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssexg 4598 . . . . . . . . 9
21ex 434 . . . . . . . 8
3 omelon2 6712 . . . . . . . 8
42, 3syl6com 35 . . . . . . 7
54imp 429 . . . . . 6
65adantll 713 . . . . 5
7 simplr 755 . . . . 5
86, 7jca 532 . . . 4
9 oawordeu 7223 . . . 4
108, 9sylancom 667 . . 3
11 reurex 3074 . . 3
1210, 11syl 16 . 2
13 nnon 6706 . . . . . . 7
1413ad3antrrr 729 . . . . . 6
156adantr 465 . . . . . 6
16 simpr 461 . . . . . 6
17 oaass 7229 . . . . . 6
1814, 15, 16, 17syl3anc 1228 . . . . 5
19 simpll 753 . . . . . . . 8
20 oaabslem 7311 . . . . . . . 8
216, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . 7
2221adantr 465 . . . . . 6
2322oveq1d 6311 . . . . 5
2418, 23eqtr3d 2500 . . . 4
25 oveq2 6304 . . . . 5
26 id 22 . . . . 5
2725, 26eqeq12d 2479 . . . 4
2824, 27syl5ibcom 220 . . 3
2928rexlimdva 2949 . 2
3012, 29mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  E!wreu 2809   cvv 3109  C_wss 3475   con0 4883  (class class class)co 6296   com 6700   coa 7146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153
 Copyright terms: Public domain W3C validator