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Theorem oaass 7229
Description: Ordinal addition is associative. Theorem 25 of [Suppes] p. 211. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaass

Proof of Theorem oaass
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . 5
2 oveq2 6304 . . . . . 6
32oveq2d 6312 . . . . 5
41, 3eqeq12d 2479 . . . 4
5 oveq2 6304 . . . . 5
6 oveq2 6304 . . . . . 6
76oveq2d 6312 . . . . 5
85, 7eqeq12d 2479 . . . 4
9 oveq2 6304 . . . . 5
10 oveq2 6304 . . . . . 6
1110oveq2d 6312 . . . . 5
129, 11eqeq12d 2479 . . . 4
13 oveq2 6304 . . . . 5
14 oveq2 6304 . . . . . 6
1514oveq2d 6312 . . . . 5
1613, 15eqeq12d 2479 . . . 4
17 oacl 7204 . . . . . 6
18 oa0 7185 . . . . . 6
1917, 18syl 16 . . . . 5
20 oa0 7185 . . . . . . 7
2120oveq2d 6312 . . . . . 6
2221adantl 466 . . . . 5
2319, 22eqtr4d 2501 . . . 4
24 suceq 4948 . . . . . 6
25 oasuc 7193 . . . . . . . 8
2617, 25sylan 471 . . . . . . 7
27 oasuc 7193 . . . . . . . . . . 11
2827oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
2928adantl 466 . . . . . . . . 9
30 oacl 7204 . . . . . . . . . 10
31 oasuc 7193 . . . . . . . . . 10
3230, 31sylan2 474 . . . . . . . . 9
3329, 32eqtrd 2498 . . . . . . . 8
3433anassrs 648 . . . . . . 7
3526, 34eqeq12d 2479 . . . . . 6
3624, 35syl5ibr 221 . . . . 5
3736expcom 435 . . . 4
38 vex 3112 . . . . . . . . . 10
39 oalim 7201 . . . . . . . . . 10
4038, 39mpanr1 683 . . . . . . . . 9
4117, 40sylan 471 . . . . . . . 8
4241ancoms 453 . . . . . . 7
4342adantr 465 . . . . . 6
44 oalimcl 7228 . . . . . . . . . . . . 13
4538, 44mpanr1 683 . . . . . . . . . . . 12
4645ancoms 453 . . . . . . . . . . 11
47 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12
48 oalim 7201 . . . . . . . . . . . 12
4947, 48mpanr1 683 . . . . . . . . . . 11
5046, 49sylan2 474 . . . . . . . . . 10
51 limelon 4946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5238, 51mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
53 oacl 7204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5453ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5655ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5754, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5857adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60 0ellim 4945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
61 onelss 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6220sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6361, 62sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6463imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
65 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6665sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6766rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6860, 64, 67syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6968expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7069adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7170adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
72 oawordex 7225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7372ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
74 oaord 7215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
75743expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
76 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7775, 76sylan9bb 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7877an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7978biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
80 eqimss2 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8180ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8279, 81jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8382anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8483expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8584reximdv2 2928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8685adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8773, 86sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8887adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
89 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
90 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
91 ordtri2or 4978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9289, 90, 91syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9392ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9571, 88, 94mpjaod 381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9695exp45 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9796imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9897adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9998imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
100 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
101 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
102101, 30sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
103102exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
104103com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
105104imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
106105adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
107106adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
108 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
109108ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
110 oaword 7217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
111100, 107, 109, 110syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
112111rexbidva 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11399, 112mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114113exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11559, 114mpdd 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116115exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11752, 116mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118117exp4a 606 . . . . . . . . . . . . . . 15
119118imp31 432 . . . . . . . . . . . . . 14
120119ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . . 13
121 iunss2 4375 . . . . . . . . . . . . 13
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . 12
123122ancoms 453 . . . . . . . . . . 11
124 oaordi 7214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125124anim1d 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127126eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128127rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129125, 128syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130129expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131130rexlimdv 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15
132 eliun 4335 . . . . . . . . . . . . . . 15
133 eliun 4335 . . . . . . . . . . . . . . 15
134131, 132, 1333imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . 14
135134ssrdv 3509 . . . . . . . . . . . . 13
13652, 135sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
137136adantl 466 . . . . . . . . . . 11
138123, 137eqssd 3520 . . . . . . . . . 10
13950, 138eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
140139an12s 801 . . . . . . . 8
141140adantr 465 . . . . . . 7
142 iuneq2 4347 . . . . . . . 8
143142adantl 466 . . . . . . 7
144141, 143eqtr4d 2501 . . . . . 6
14543, 144eqtr4d 2501 . . . . 5
146145exp31 604 . . . 4
1474, 8, 12, 16, 23, 37, 146tfinds3 6699 . . 3
148147com12 31 . 2
1491483impia 1193 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   coa 7146
This theorem is referenced by:  odi  7247  oaabs  7312  oaabs2  7313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153
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