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Theorem oalimcl 7228
Description: The ordinal sum with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.11 of [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 8-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oalimcl

Proof of Theorem oalimcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 4946 . . 3
2 oacl 7204 . . . 4
3 eloni 4893 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
51, 4sylan2 474 . 2
6 0ellim 4945 . . . . . 6
7 n0i 3789 . . . . . 6
86, 7syl 16 . . . . 5
98ad2antll 728 . . . 4
10 oa00 7227 . . . . . . 7
11 simpr 461 . . . . . . 7
1210, 11syl6bi 228 . . . . . 6
1312con3d 133 . . . . 5
141, 13sylan2 474 . . . 4
159, 14mpd 15 . . 3
16 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
1716sucid 4962 . . . . . . . . . 10
18 oalim 7201 . . . . . . . . . . . 12
19 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11
2120imp 429 . . . . . . . . . 10
2217, 21syl5eleq 2551 . . . . . . . . 9
23 eliun 4335 . . . . . . . . 9
2422, 23sylib 196 . . . . . . . 8
25 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . 16
261, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 onnbtwn 4974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3029com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
3226, 31mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
3332ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13
34 oacl 7204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
36 ordsucelsuc 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
38 oasuc 7193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3938eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4037, 39bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4126, 40sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4342bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4441, 43sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
451adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
46 sucelon 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4726, 46sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4845, 47jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
49 oaord 7215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
50493expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5148, 50sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5251ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5444, 53bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5554biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756com4l 84 . . . . . . . . . . . . . 14
5857imp32 433 . . . . . . . . . . . . 13
5933, 58mtod 177 . . . . . . . . . . . 12
6059exp44 613 . . . . . . . . . . 11
6160imp 429 . . . . . . . . . 10
6261rexlimdv 2947 . . . . . . . . 9
6362adantl 466 . . . . . . . 8
6424, 63mpd 15 . . . . . . 7
6564expcom 435 . . . . . 6
6665pm2.01d 169 . . . . 5
6766adantr 465 . . . 4
6867nrexdv 2913 . . 3
69 ioran 490 . . 3
7015, 68, 69sylanbrc 664 . 2
71 dflim3 6682 . 2
725, 70, 71sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   c0 3784  U_ciun 4330  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   coa 7146
This theorem is referenced by:  oaass  7229  odi  7247  wunex3  9140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153
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