MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaord Unicode version

Theorem oaord 7215
Description: Ordering property of ordinal addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58 and its converse. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaord

Proof of Theorem oaord
StepHypRef Expression
1 oaordi 7214 . . 3
213adant1 1014 . 2
3 oveq2 6304 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
5 oaordi 7214 . . . . . 6
653adant2 1015 . . . . 5
74, 6orim12d 838 . . . 4
87con3d 133 . . 3
9 df-3an 975 . . . . . 6
10 ancom 450 . . . . . 6
11 anandi 828 . . . . . 6
129, 10, 113bitri 271 . . . . 5
13 oacl 7204 . . . . . . 7
14 eloni 4893 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6
16 oacl 7204 . . . . . . 7
17 eloni 4893 . . . . . . 7
1816, 17syl 16 . . . . . 6
1915, 18anim12i 566 . . . . 5
2012, 19sylbi 195 . . . 4
21 ordtri2 4918 . . . 4
2220, 21syl 16 . . 3
23 eloni 4893 . . . . . 6
24 eloni 4893 . . . . . 6
2523, 24anim12i 566 . . . . 5
26253adant3 1016 . . . 4
27 ordtri2 4918 . . . 4
2826, 27syl 16 . . 3
298, 22, 283imtr4d 268 . 2
302, 29impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  Ordword 4882   con0 4883  (class class class)co 6296   coa 7146
This theorem is referenced by:  oacan  7216  oaword  7217  oaord1  7219  oa00  7227  oalimcl  7228  oaass  7229  odi  7247  oneo  7249  omeulem1  7250  omeulem2  7251  oeeui  7270  omxpenlem  7638  cantnflt  8112  cantnflem1d  8128  cantnflem1  8129  cantnfltOLD  8142  cantnflem1dOLD  8151  cantnflem1OLD  8152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153
  Copyright terms: Public domain W3C validator