Theorem oaordex 7226

Description: Existence theorem for ordering of ordinal sum. Similar to Proposition 4.34(f) of [Mendelson] p. 266 and its converse. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaordex

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem oaordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelss 4925	. . . . 5
2	1	adantl 466	. . . 4
3		oawordex 7225	. . . 4
4	2, 3	sylibd 214	. . 3
5		oaord1 7219	. . . . . . . . . . . . 13
6		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . 13
7	5, 6	sylan9bb 699	. . . . . . . . . . . 12
8	7	biimprcd 225	. . . . . . . . . . 11
9	8	exp4c 608	. . . . . . . . . 10
10	9	com12 31	. . . . . . . . 9
11	10	imp4b 590	. . . . . . . 8
12		simpr 461	. . . . . . . . 9
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8
14	11, 13	jcad 533	. . . . . . 7
15	14	expd 436	. . . . . 6
16	15	reximdvai 2929	. . . . 5
17	16	ex 434	. . . 4
18	17	adantr 465	. . 3
19	4, 18	mpdd 40	. 2
20	7	biimpd 207	. . . . . . 7
21	20	exp31 604	. . . . . 6
22	21	com34 83	. . . . 5
23	22	imp4a 589	. . . 4
24	23	rexlimdv 2947	. . 3
25	24	adantr 465	. 2
26	19, 25	impbid 191	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  C_wss 3475  c0 3784  con0 4883  (class class class)co 6296  coa 7146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153