MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaordi Unicode version

Theorem oaordi 7214
Description: Ordering property of ordinal addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaordi

Proof of Theorem oaordi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelon 4908 . . . . 5
21adantll 713 . . . 4
3 eloni 4893 . . . . . . . . 9
4 ordsucss 6653 . . . . . . . . 9
53, 4syl 16 . . . . . . . 8
65ad2antlr 726 . . . . . . 7
7 sucelon 6652 . . . . . . . . . 10
8 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
98sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . 13
109imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
11 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
1211sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . 13
1312imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
14 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
1514sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . 13
1615imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
17 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
1817sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . 13
1918imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
20 ssid 3522 . . . . . . . . . . . . 13
2120a1ii 27 . . . . . . . . . . . 12
22 sssucid 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 sstr2 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2422, 23mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25 oasuc 7193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2625ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2824, 27syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
3130a2d 26 . . . . . . . . . . . 12
32 sucssel 4975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
337, 32sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3534biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3633, 35sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
38 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3938ssiun2s 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4037, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43 oalim 7201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4442, 43mpanr1 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4544ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
4841, 47sseqtr4d 3540 . . . . . . . . . . . . . 14
4948ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
5049a1d 25 . . . . . . . . . . . 12
5110, 13, 16, 19, 21, 31, 50tfindsg 6695 . . . . . . . . . . 11
5251exp31 604 . . . . . . . . . 10
537, 52syl5bi 217 . . . . . . . . 9
5453com4r 86 . . . . . . . 8
5554imp31 432 . . . . . . 7
56 oasuc 7193 . . . . . . . . . 10
5756sseq1d 3530 . . . . . . . . 9
58 ovex 6324 . . . . . . . . . 10
59 sucssel 4975 . . . . . . . . . 10
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . 9
6157, 60syl6bi 228 . . . . . . . 8
6261adantlr 714 . . . . . . 7
636, 55, 623syld 55 . . . . . 6
6463imp 429 . . . . 5
6564an32s 804 . . . 4
662, 65mpdan 668 . . 3
6766ex 434 . 2
6867ancoms 453 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475  U_ciun 4330  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   coa 7146
This theorem is referenced by:  oaord  7215  oaass  7229  odi  7247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153
  Copyright terms: Public domain W3C validator