MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oarec Unicode version

Theorem oarec 7230
Description: Recursive definition of ordinal addition. Exercise 25 of [Enderton] p. 240. (Contributed by NM, 26-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oarec
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem oarec
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . 4
2 mpteq1 4532 . . . . . . . 8
3 mpt0 5713 . . . . . . . 8
42, 3syl6eq 2514 . . . . . . 7
54rneqd 5235 . . . . . 6
6 rn0 5259 . . . . . 6
75, 6syl6eq 2514 . . . . 5
87uneq2d 3657 . . . 4
91, 8eqeq12d 2479 . . 3
10 oveq2 6304 . . . 4
11 mpteq1 4532 . . . . . 6
1211rneqd 5235 . . . . 5
1312uneq2d 3657 . . . 4
1410, 13eqeq12d 2479 . . 3
15 oveq2 6304 . . . 4
16 mpteq1 4532 . . . . . 6
1716rneqd 5235 . . . . 5
1817uneq2d 3657 . . . 4
1915, 18eqeq12d 2479 . . 3
20 oveq2 6304 . . . 4
21 mpteq1 4532 . . . . . 6
2221rneqd 5235 . . . . 5
2322uneq2d 3657 . . . 4
2420, 23eqeq12d 2479 . . 3
25 oa0 7185 . . . 4
26 un0 3810 . . . 4
2725, 26syl6eqr 2516 . . 3
28 uneq1 3650 . . . . . 6
29 unass 3660 . . . . . . 7
30 rexun 3683 . . . . . . . . . . 11
31 df-suc 4889 . . . . . . . . . . . 12
3231rexeqi 3059 . . . . . . . . . . 11
33 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
34 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
3534elrnmpt 5254 . . . . . . . . . . . . 13
3633, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
37 elsn 4043 . . . . . . . . . . . . 13
38 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
39 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
4138, 40rexsn 4069 . . . . . . . . . . . . 13
4237, 41bitr4i 252 . . . . . . . . . . . 12
4336, 42orbi12i 521 . . . . . . . . . . 11
4430, 32, 433bitr4i 277 . . . . . . . . . 10
45 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
46 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
4745, 46elrnmpti 5258 . . . . . . . . . 10
48 elun 3644 . . . . . . . . . 10
4944, 47, 483bitr4i 277 . . . . . . . . 9
5049eqriv 2453 . . . . . . . 8
5150uneq2i 3654 . . . . . . 7
5229, 51eqtr4i 2489 . . . . . 6
5328, 52syl6eq 2514 . . . . 5
54 oasuc 7193 . . . . . . 7
55 df-suc 4889 . . . . . . 7
5654, 55syl6eq 2514 . . . . . 6
5756eqeq1d 2459 . . . . 5
5853, 57syl5ibr 221 . . . 4
5958expcom 435 . . 3
60 vex 3112 . . . . . . . 8
61 oalim 7201 . . . . . . . 8
6260, 61mpanr1 683 . . . . . . 7
6362ancoms 453 . . . . . 6
6463adantr 465 . . . . 5
65 iuneq2 4347 . . . . . 6
6665adantl 466 . . . . 5
67 iunun 4411 . . . . . . 7
68 0ellim 4945 . . . . . . . . 9
69 ne0i 3790 . . . . . . . . 9
70 iunconst 4339 . . . . . . . . 9
7168, 69, 703syl 20 . . . . . . . 8
72 limuni 4943 . . . . . . . . . . . 12
7372rexeqdv 3061 . . . . . . . . . . 11
74 df-rex 2813 . . . . . . . . . . . . . 14
7536, 74bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13
7675rexbii 2959 . . . . . . . . . . . 12
77 eluni2 4253 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 r19.41v 3009 . . . . . . . . . . . . . . 15
8078, 79bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . 14
8180exbii 1667 . . . . . . . . . . . . 13
82 df-rex 2813 . . . . . . . . . . . . 13
83 rexcom4 3129 . . . . . . . . . . . . 13
8481, 82, 833bitr4i 277 . . . . . . . . . . . 12
8576, 84bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11
8673, 85syl6rbbr 264 . . . . . . . . . 10
87 eliun 4335 . . . . . . . . . 10
88 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
8988, 46elrnmpti 5258 . . . . . . . . . 10
9086, 87, 893bitr4g 288 . . . . . . . . 9
9190eqrdv 2454 . . . . . . . 8
9271, 91uneq12d 3658 . . . . . . 7
9367, 92syl5eq 2510 . . . . . 6
9493ad2antrr 725 . . . . 5
9564, 66, 943eqtrd 2502 . . . 4
9695exp31 604 . . 3
979, 14, 19, 24, 27, 59, 96tfinds3 6699 . 2
9897impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  u.cun 3473   c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249  U_ciun 4330  e.cmpt 4510   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  rancrn 5005  (class class class)co 6296   coa 7146
This theorem is referenced by:  oacomf1o  7233  onacda  8598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153
  Copyright terms: Public domain W3C validator