Theorem oawordeulem 7222

Description: Lemma for oawordex 7225. (Contributed by NM, 11-Dec-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
oawordeulem.1
oawordeulem.2
oawordeulem.3

Assertion

Ref	Expression
oawordeulem

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,S

Proof of Theorem oawordeulem

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oawordeulem.3	. . . . . 6
2		ssrab2 3584	. . . . . 6
3	1, 2	eqsstri 3533	. . . . 5
4		oawordeulem.2	. . . . . . 7
5		oawordeulem.1	. . . . . . . 8
6		oaword2 7221	. . . . . . . 8
7	4, 5, 6	mp2an 672	. . . . . . 7
8		oveq2 6304	. . . . . . . . 9
9	8	sseq2d 3531	. . . . . . . 8
10	9, 1	elrab2 3259	. . . . . . 7
11	4, 7, 10	mpbir2an 920	. . . . . 6
12	11	ne0ii 3791	. . . . 5
13		oninton 6635	. . . . 5
14	3, 12, 13	mp2an 672	. . . 4
15		onzsl 6681	. . . . . . . 8
16	14, 15	mpbi 208	. . . . . . 7
17		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11
18		oa0 7185	. . . . . . . . . . . 12
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
20	17, 19	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10
21	20	sseq1d 3530	. . . . . . . . 9
22	21	biimprd 223	. . . . . . . 8
23		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12
24		oasuc 7193	. . . . . . . . . . . . 13
25	5, 24	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12
26	23, 25	sylan9eqr 2520	. . . . . . . . . . 11
27		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . 15
28	27	sucid 4962	. . . . . . . . . . . . . 14
29		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . 14
30	28, 29	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . 13
31	14	oneli 4990	. . . . . . . . . . . . . 14
32	1	inteqi 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33	32	eleq2i 2535	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
35	34	sseq2d 3531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36	35	onnminsb 6639	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37	33, 36	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		oacl 7204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39	5, 38	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40		ontri1 4917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
41	4, 39, 40	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42	41	con2bid 329	. . . . . . . . . . . . . . 15
43	37, 42	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . . . 14
44	31, 43	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . 13
45	4	onordi 4987	. . . . . . . . . . . . . 14
46		ordsucss 6653	. . . . . . . . . . . . . 14
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
48	30, 44, 47	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
50	26, 49	eqsstrd 3537	. . . . . . . . . 10
51	50	rexlimiva 2945	. . . . . . . . 9
52	51	a1d 25	. . . . . . . 8
53		oalim 7201	. . . . . . . . . . 11
54	5, 53	mpan 670	. . . . . . . . . 10
55		iunss 4371	. . . . . . . . . . 11
56	4	onelssi 4991	. . . . . . . . . . . 12
57	44, 56	syl 16	. . . . . . . . . . 11
58	55, 57	mprgbir 2821	. . . . . . . . . 10
59	54, 58	syl6eqss 3553	. . . . . . . . 9
60	59	a1d 25	. . . . . . . 8
61	22, 52, 60	3jaoi 1291	. . . . . . 7
62	16, 61	ax-mp 5	. . . . . 6
63	9	rspcev 3210	. . . . . . . . 9
64	4, 7, 63	mp2an 672	. . . . . . . 8
65		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10
66		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11
67		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11
68		nfrab1 3038	. . . . . . . . . . . 12
69	68	nfint 4296	. . . . . . . . . . 11
70	66, 67, 69	nfov 6322	. . . . . . . . . 10
71	65, 70	nfss 3496	. . . . . . . . 9
72		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10
73	72	sseq2d 3531	. . . . . . . . 9
74	71, 73	onminsb 6634	. . . . . . . 8
75	64, 74	ax-mp 5	. . . . . . 7
76	32	oveq2i 6307	. . . . . . 7
77	75, 76	sseqtr4i 3536	. . . . . 6
78	62, 77	jctir 538	. . . . 5
79		eqss 3518	. . . . 5
80	78, 79	sylibr 212	. . . 4
81		oveq2 6304	. . . . . 6
82	81	eqeq1d 2459	. . . . 5
83	82	rspcev 3210	. . . 4
84	14, 80, 83	sylancr 663	. . 3
85		eqtr3 2485	. . . . 5
86		oacan 7216	. . . . . 6
87	5, 86	mp3an1 1311	. . . . 5
88	85, 87	syl5ib 219	. . . 4
89	88	rgen2a 2884	. . 3
90	84, 89	jctir 538	. 2
91		oveq2 6304	. . . 4
92	91	eqeq1d 2459	. . 3
93	92	reu4 3293	. 2
94	90, 93	sylibr 212	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  {crab 2811  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  |^|cint 4286  U_ciun 4330  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296  coa 7146

This theorem is referenced by:  oawordeu  7223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153