MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oawordri Unicode version

Theorem oawordri 7218
Description: Weak ordering property of ordinal addition. Proposition 8.7 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 7-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oawordri

Proof of Theorem oawordri
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . 6
2 oveq2 6304 . . . . . 6
31, 2sseq12d 3532 . . . . 5
4 oveq2 6304 . . . . . 6
5 oveq2 6304 . . . . . 6
64, 5sseq12d 3532 . . . . 5
7 oveq2 6304 . . . . . 6
8 oveq2 6304 . . . . . 6
97, 8sseq12d 3532 . . . . 5
10 oveq2 6304 . . . . . 6
11 oveq2 6304 . . . . . 6
1210, 11sseq12d 3532 . . . . 5
13 oa0 7185 . . . . . . . 8
1413adantr 465 . . . . . . 7
15 oa0 7185 . . . . . . . 8
1615adantl 466 . . . . . . 7
1714, 16sseq12d 3532 . . . . . 6
1817biimpar 485 . . . . 5
19 oacl 7204 . . . . . . . . . . . 12
20 eloni 4893 . . . . . . . . . . . 12
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11
22 oacl 7204 . . . . . . . . . . . 12
23 eloni 4893 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11
25 ordsucsssuc 6658 . . . . . . . . . . 11
2621, 24, 25syl2an 477 . . . . . . . . . 10
2726anandirs 831 . . . . . . . . 9
28 oasuc 7193 . . . . . . . . . . 11
2928adantlr 714 . . . . . . . . . 10
30 oasuc 7193 . . . . . . . . . . 11
3130adantll 713 . . . . . . . . . 10
3229, 31sseq12d 3532 . . . . . . . . 9
3327, 32bitr4d 256 . . . . . . . 8
3433biimpd 207 . . . . . . 7
3534expcom 435 . . . . . 6
3635adantrd 468 . . . . 5
37 vex 3112 . . . . . . . 8
38 ss2iun 4346 . . . . . . . . 9
39 oalim 7201 . . . . . . . . . . 11
4039adantlr 714 . . . . . . . . . 10
41 oalim 7201 . . . . . . . . . . 11
4241adantll 713 . . . . . . . . . 10
4340, 42sseq12d 3532 . . . . . . . . 9
4438, 43syl5ibr 221 . . . . . . . 8
4537, 44mpanr1 683 . . . . . . 7
4645expcom 435 . . . . . 6
4746adantrd 468 . . . . 5
483, 6, 9, 12, 18, 36, 47tfinds3 6699 . . . 4
4948exp4c 608 . . 3
5049com3l 81 . 2
51503imp 1190 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   coa 7146
This theorem is referenced by:  oaword2  7221  omwordri  7240  oaabs2  7313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153
  Copyright terms: Public domain W3C validator