Theorem oawordri 7218

Description: Weak ordering property of ordinal addition. Proposition 8.7 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 7-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oawordri

Proof of Theorem oawordri

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . . 6
2		oveq2 6304	. . . . . 6
3	1, 2	sseq12d 3532	. . . . 5
4		oveq2 6304	. . . . . 6
5		oveq2 6304	. . . . . 6
6	4, 5	sseq12d 3532	. . . . 5
7		oveq2 6304	. . . . . 6
8		oveq2 6304	. . . . . 6
9	7, 8	sseq12d 3532	. . . . 5
10		oveq2 6304	. . . . . 6
11		oveq2 6304	. . . . . 6
12	10, 11	sseq12d 3532	. . . . 5
13		oa0 7185	. . . . . . . 8
14	13	adantr 465	. . . . . . 7
15		oa0 7185	. . . . . . . 8
16	15	adantl 466	. . . . . . 7
17	14, 16	sseq12d 3532	. . . . . 6
18	17	biimpar 485	. . . . 5
19		oacl 7204	. . . . . . . . . . . 12
20		eloni 4893	. . . . . . . . . . . 12
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . 11
22		oacl 7204	. . . . . . . . . . . 12
23		eloni 4893	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . . 11
25		ordsucsssuc 6658	. . . . . . . . . . 11
26	21, 24, 25	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
27	26	anandirs 831	. . . . . . . . 9
28		oasuc 7193	. . . . . . . . . . 11
29	28	adantlr 714	. . . . . . . . . 10
30		oasuc 7193	. . . . . . . . . . 11
31	30	adantll 713	. . . . . . . . . 10
32	29, 31	sseq12d 3532	. . . . . . . . 9
33	27, 32	bitr4d 256	. . . . . . . 8
34	33	biimpd 207	. . . . . . 7
35	34	expcom 435	. . . . . 6
36	35	adantrd 468	. . . . 5
37		vex 3112	. . . . . . . 8
38		ss2iun 4346	. . . . . . . . 9
39		oalim 7201	. . . . . . . . . . 11
40	39	adantlr 714	. . . . . . . . . 10
41		oalim 7201	. . . . . . . . . . 11
42	41	adantll 713	. . . . . . . . . 10
43	40, 42	sseq12d 3532	. . . . . . . . 9
44	38, 43	syl5ibr 221	. . . . . . . 8
45	37, 44	mpanr1 683	. . . . . . 7
46	45	expcom 435	. . . . . 6
47	46	adantrd 468	. . . . 5
48	3, 6, 9, 12, 18, 36, 47	tfinds3 6699	. . . 4
49	48	exp4c 608	. . 3
50	49	com3l 81	. 2
51	50	3imp 1190	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  U_ciun 4330  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296  coa 7146

This theorem is referenced by:  oaword2  7221  omwordri  7240  oaabs2  7313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153