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Theorem odd2np1 14046
Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1
Distinct variable group:   ,N

Proof of Theorem odd2np1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10921 . . . 4
2 divides 13988 . . . 4
31, 2mpan 670 . . 3
43notbid 294 . 2
5 elznn0 10904 . . . . 5
6 odd2np1lem 14045 . . . . . . 7
76adantl 466 . . . . . 6
8 odd2np1lem 14045 . . . . . . . 8
9 peano2z 10930 . . . . . . . . . . . . . 14
10 znegcl 10924 . . . . . . . . . . . . . 14
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12
13 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14 2cn 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1614, 15mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17 peano2cn 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1913, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 negcon2 9895 . . . . . . . . . . . . . . 15
2420, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
25 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15
2614, 13, 15sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
27 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2814, 27mulcli 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29 addsubass 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3028, 27, 29mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3126, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32 2t1e2 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3332oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
34 2m1e1 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3533, 34eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3635oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3731, 36syl6req 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38 adddi 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3914, 27, 38mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4013, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4140oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4237, 41eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4342negeqd 9837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
449zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
45 mulneg2 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4614, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4746oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4914, 44, 48sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50 negsubdi 9898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5149, 27, 50sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5247, 51eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5343, 52eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15
5625, 55syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14
5724, 56bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13
5857biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12
59 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14
6160eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
6261rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12
6312, 58, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
6463ex 434 . . . . . . . . . 10
6564rexlimdva 2949 . . . . . . . . 9
66 znegcl 10924 . . . . . . . . . . . . 13
6766ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12
68 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7068, 14, 69sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 recn 9603 . . . . . . . . . . . . . . 15
72 negcon2 9895 . . . . . . . . . . . . . . 15
7370, 71, 72syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14
74 mulneg1 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7568, 14, 74sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7776eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15
7977, 78syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . 14
8073, 79bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13
8180biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12
82 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
8382eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
8483rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12
8567, 81, 84syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
8685ex 434 . . . . . . . . . 10
8786rexlimdva 2949 . . . . . . . . 9
8865, 87orim12d 838 . . . . . . . 8
898, 88syl5 32 . . . . . . 7
9089imp 429 . . . . . 6
917, 90jaodan 785 . . . . 5
925, 91sylbi 195 . . . 4
93 halfnz 10966 . . . . 5
94 reeanv 3025 . . . . . 6
95 eqtr3 2485 . . . . . . . 8
96 zcn 10894 . . . . . . . . . . . 12
97 mulcom 9599 . . . . . . . . . . . 12
9896, 14, 97sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
9998eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
10099adantl 466 . . . . . . . . 9
101 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . 12
10214, 96, 101sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
103 zcn 10894 . . . . . . . . . . . 12
104 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . 12
10514, 103, 104sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
106 subadd 9846 . . . . . . . . . . . 12
10727, 106mp3an3 1313 . . . . . . . . . . 11
108102, 105, 107syl2anr 478 . . . . . . . . . 10
109 subcl 9842 . . . . . . . . . . . . . . 15
110 2cnne0 10775 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112 divmul 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113111, 112syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11427, 110, 113mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15
115109, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
116115ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13
117 subdi 10015 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11814, 117mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . 15
119118ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14
120119eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
121116, 120bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12
122103, 96, 121syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
123 zsubcl 10931 . . . . . . . . . . . . 13
124 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13
125123, 124syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . 12
126125ancoms 453 . . . . . . . . . . 11
127122, 126sylbird 235 . . . . . . . . . 10
128108, 127sylbird 235 . . . . . . . . 9
129100, 128sylbid 215 . . . . . . . 8
13095, 129syl5 32 . . . . . . 7
131130rexlimivv 2954 . . . . . 6
13294, 131sylbir 213 . . . . 5
13393, 132mto 176 . . . 4
13492, 133jctir 538 . . 3
135 pm5.17 888 . . . 4
136 bicom 200 . . . 4
137135, 136bitri 249 . . 3
138134, 137sylib 196 . 2
1394, 138bitrd 253 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  oddm1even  14047  oexpneg  14049  opoe  14335  omoe  14336  opeo  14337  omeo  14338  iserodd  14359  leibpilem1  23271  lgsquadlem1  23629  coskpi2  31666  cosknegpi  31669  stirlinglem5  31860  fourierswlem  32013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-dvds 13987
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