Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1o1 Unicode version

Theorem odf1o1 15257
 Description: An element with zero order has infinitely many multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x
odf1o1.t
odf1o1.o
odf1o1.k
Assertion
Ref Expression
odf1o1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,O   ,   ,

Proof of Theorem odf1o1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 961 . . . . . . 7
2 odf1o1.x . . . . . . . 8
32subgacs 15026 . . . . . . 7
4 acsmre 13928 . . . . . . 7
51, 3, 43syl 19 . . . . . 6
6 simpl2 962 . . . . . . 7
76snssd 3971 . . . . . 6
8 odf1o1.k . . . . . . 7
98mrccl 13887 . . . . . 6
105, 7, 9syl2anc 644 . . . . 5
11 simpr 449 . . . . 5
125, 8, 7mrcssidd 13901 . . . . . 6
13 snidg 3866 . . . . . . 7
146, 13syl 16 . . . . . 6
1512, 14sseldd 3338 . . . . 5
16 odf1o1.t . . . . . 6
1716subgmulgcl 15008 . . . . 5
1810, 11, 15, 17syl3anc 1185 . . . 4
1918ex 425 . . 3
20 simpl3 963 . . . . . . 7
2120breq1d 4253 . . . . . 6
22 zsubcl 10370 . . . . . . . 8
2322adantl 454 . . . . . . 7
24 0dvds 12921 . . . . . . 7
2523, 24syl 16 . . . . . 6
2621, 25bitrd 246 . . . . 5
27 simpl1 961 . . . . . 6
28 simpl2 962 . . . . . 6
29 simprl 734 . . . . . 6
30 simprr 735 . . . . . 6
31 odf1o1.o . . . . . . 7
32 eqid 2443 . . . . . . 7
332, 31, 16, 32odcong 15238 . . . . . 6
3427, 28, 29, 30, 33syl112anc 1189 . . . . 5
35 zcn 10338 . . . . . . 7
36 zcn 10338 . . . . . . 7
37 subeq0 9378 . . . . . . 7
3835, 36, 37syl2an 465 . . . . . 6
3938adantl 454 . . . . 5
4026, 34, 393bitr3d 276 . . . 4
4140ex 425 . . 3
4219, 41dom2lem 7196 . 2
43 f1f 5686 . . . 4
4442, 43syl 16 . . 3
45 eqid 2443 . . . . . 6
462, 16, 45, 8cycsubg2 15028 . . . . 5
47463adant3 978 . . . 4
4847eqcomd 2448 . . 3
49 dffo2 5704 . . 3
5044, 48, 49sylanbrc 647 . 2
51 df-f1o 5508 . 2
5242, 50, 51sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728  C_wss 3309  {csn 3841   class class class wbr 4243  e.cmpt 4301  rancrn 4920  -->wf 5497  -1-1->wf1 5498  -onto->wfo 5499  -1-1-onto->wf1o 5500  cfv 5501  (class class class)co 6129   cc 9039  0`cc0 9041   cmin 9342   cz 10333   cdivides 12903   cbs 13520   c0g 13774   cmre 13858   cmrc 13859   cacs 13861   cgrp 14736   cmg 14740   csubg 14989   cod 15214 This theorem is referenced by:  odhash  15259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-inf2 7645  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118  ax-pre-sup 9119 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-1o 6773  df-oadd 6777  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-fin 7162  df-sup 7495  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-div 9729  df-nn 10052  df-2 10109  df-3 10110  df-n0 10273  df-z 10334  df-uz 10540  df-rp 10664  df-fz 11095  df-fl 11253  df-mod 11302  df-seq 11375  df-exp 11434  df-cj 11955  df-re 11956  df-im 11957  df-sqr 12091  df-abs 12092  df-dvds 12904  df-ndx 13523  df-slot 13524  df-base 13525  df-sets 13526  df-ress 13527  df-plusg 13593  df-0g 13778  df-mre 13862  df-mrc 13863  df-acs 13865  df-mnd 14741  df-submnd 14790  df-grp 14863  df-minusg 14864  df-sbg 14865  df-mulg 14866  df-subg 14992  df-od 15218
 Copyright terms: Public domain W3C validator