MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odzdvds Unicode version

Theorem odzdvds 14322
Description: The only powers of that are congruent to are the multiples of the order of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
odzdvds

Proof of Theorem odzdvds
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 10829 . . . . . . . . 9
21adantl 466 . . . . . . . 8
3 odzcl 14320 . . . . . . . . . 10
43adantr 465 . . . . . . . . 9
54nnrpd 11284 . . . . . . . 8
6 modlt 12006 . . . . . . . 8
72, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . 7
8 nn0z 10912 . . . . . . . . . . 11
98adantl 466 . . . . . . . . . 10
109, 4zmodcld 12016 . . . . . . . . 9
1110nn0red 10878 . . . . . . . 8
124nnred 10576 . . . . . . . 8
1311, 12ltnled 9753 . . . . . . 7
147, 13mpbid 210 . . . . . 6
15 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
1615oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
1716breq2d 4464 . . . . . . . . . 10
1817elrab 3257 . . . . . . . . 9
19 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . 11
20 nnuz 11145 . . . . . . . . . . 11
2119, 20sseqtri 3535 . . . . . . . . . 10
22 infmssuzle 11193 . . . . . . . . . 10
2321, 22mpan 670 . . . . . . . . 9
2418, 23sylbir 213 . . . . . . . 8
2524ancoms 453 . . . . . . 7
26 odzval 14318 . . . . . . . . 9
2726adantr 465 . . . . . . . 8
2827breq1d 4462 . . . . . . 7
2925, 28syl5ibr 221 . . . . . 6
3014, 29mtod 177 . . . . 5
31 imnan 422 . . . . 5
3230, 31sylibr 212 . . . 4
33 elnn0 10822 . . . . . 6
3410, 33sylib 196 . . . . 5
3534ord 377 . . . 4
3632, 35syld 44 . . 3
37 simpl1 999 . . . . . . 7
3837nnzd 10993 . . . . . 6
39 dvds0 13999 . . . . . 6
4038, 39syl 16 . . . . 5
41 simpl2 1000 . . . . . . . . 9
4241zcnd 10995 . . . . . . . 8
4342exp0d 12304 . . . . . . 7
4443oveq1d 6311 . . . . . 6
45 1m1e0 10629 . . . . . 6
4644, 45syl6eq 2514 . . . . 5
4740, 46breqtrrd 4478 . . . 4
48 oveq2 6304 . . . . . 6
4948oveq1d 6311 . . . . 5
5049breq2d 4464 . . . 4
5147, 50syl5ibrcom 222 . . 3
5236, 51impbid 191 . 2
534nnnn0d 10877 . . . . . . . . 9
542, 4nndivred 10609 . . . . . . . . . 10
55 nn0ge0 10846 . . . . . . . . . . . 12
5655adantl 466 . . . . . . . . . . 11
574nngt0d 10604 . . . . . . . . . . . 12
58 ge0div 10434 . . . . . . . . . . . 12
592, 12, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
6056, 59mpbid 210 . . . . . . . . . 10
61 flge0nn0 11954 . . . . . . . . . 10
6254, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . 9
6353, 62nn0mulcld 10882 . . . . . . . 8
64 zexpcl 12181 . . . . . . . 8
6541, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . 7
6665zred 10994 . . . . . 6
67 1red 9632 . . . . . 6
68 zexpcl 12181 . . . . . . 7
6941, 10, 68syl2anc 661 . . . . . 6
7037nnrpd 11284 . . . . . 6
7142, 62, 53expmuld 12313 . . . . . . . 8
7271oveq1d 6311 . . . . . . 7
73 zexpcl 12181 . . . . . . . . 9
7441, 53, 73syl2anc 661 . . . . . . . 8
75 1zzd 10920 . . . . . . . 8
76 odzid 14321 . . . . . . . . . 10
7776adantr 465 . . . . . . . . 9
78 moddvds 13993 . . . . . . . . . 10
7937, 74, 75, 78syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
8077, 79mpbird 232 . . . . . . . 8
81 modexp 12301 . . . . . . . 8
8274, 75, 62, 70, 80, 81syl221anc 1239 . . . . . . 7
8354flcld 11935 . . . . . . . . 9
84 1exp 12195 . . . . . . . . 9
8583, 84syl 16 . . . . . . . 8
8685oveq1d 6311 . . . . . . 7
8772, 82, 863eqtrd 2502 . . . . . 6
88 modmul1 12040 . . . . . 6
8966, 67, 69, 70, 87, 88syl221anc 1239 . . . . 5
9042, 10, 63expaddd 12312 . . . . . . 7
91 modval 11998 . . . . . . . . . . 11
922, 5, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
9392oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
9463nn0cnd 10879 . . . . . . . . . 10
952recnd 9643 . . . . . . . . . 10
9694, 95pncan3d 9957 . . . . . . . . 9
9793, 96eqtrd 2498 . . . . . . . 8
9897oveq2d 6312 . . . . . . 7
9990, 98eqtr3d 2500 . . . . . 6
10099oveq1d 6311 . . . . 5
10169zcnd 10995 . . . . . . 7
102101mulid2d 9635 . . . . . 6
103102oveq1d 6311 . . . . 5
10489, 100, 1033eqtr3d 2506 . . . 4
105104eqeq1d 2459 . . 3
106 zexpcl 12181 . . . . 5
10741, 106sylancom 667 . . . 4
108 moddvds 13993 . . . 4
10937, 107, 75, 108syl3anc 1228 . . 3
110 moddvds 13993 . . . 4
11137, 69, 75, 110syl3anc 1228 . . 3
112105, 109, 1113bitr3d 283 . 2
113 dvdsval3 13990 . . 3
1144, 9, 113syl2anc 661 . 2
11552, 112, 1143bitr4d 285 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  C_wss 3475   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfl 11927   cmo 11996   cexp 12166   cdvds 13986   cgcd 14144   codz 14293
This theorem is referenced by:  odzphi  14323  pockthlem  14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-odz 14295  df-phi 14296
  Copyright terms: Public domain W3C validator