MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odzval Unicode version

Theorem odzval 14318
Description: Value of the order function. This is a function of functions; the inner argument selects the base (i.e. mod for some , often prime) and the outer argument selects the integer or equivalence class (if you want to think about it that way) from the integers mod . In order to ensure the supremum is well-defined, we only define the expression when and are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
odzval
Distinct variable groups:   ,N   ,

Proof of Theorem odzval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
21eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
32rabbidv 3101 . . . . . . 7
4 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
54eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
65cbvrabv 3108 . . . . . . 7
73, 6syl6eqr 2516 . . . . . 6
8 breq1 4455 . . . . . . . 8
98rabbidv 3101 . . . . . . 7
109supeq1d 7926 . . . . . 6
117, 10mpteq12dv 4530 . . . . 5
12 df-odz 14295 . . . . 5
13 zex 10898 . . . . . 6
1413mptrabex 6144 . . . . 5
1511, 12, 14fvmpt 5956 . . . 4
1615fveq1d 5873 . . 3
17 oveq1 6303 . . . . . 6
1817eqeq1d 2459 . . . . 5
1918elrab 3257 . . . 4
20 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
2120oveq1d 6311 . . . . . . . 8
2221breq2d 4464 . . . . . . 7
2322rabbidv 3101 . . . . . 6
2423supeq1d 7926 . . . . 5
25 eqid 2457 . . . . 5
26 gtso 9687 . . . . . 6
2726supex 7943 . . . . 5
2824, 25, 27fvmpt 5956 . . . 4
2919, 28sylbir 213 . . 3
3016, 29sylan9eq 2518 . 2
31303impb 1192 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512  1c1 9514   clt 9649   cmin 9828   cn 10561   cz 10889   cexp 12166   cdvds 13986   cgcd 14144   codz 14293
This theorem is referenced by:  odzcllem  14319  odzdvds  14322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-neg 9831  df-z 10890  df-odz 14295
  Copyright terms: Public domain W3C validator