MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0 Unicode version

Theorem oe0 7191
Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oe0

Proof of Theorem oe0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . . 5
2 oe0m0 7189 . . . . 5
31, 2syl6eq 2514 . . . 4
43adantl 466 . . 3
5 0elon 4936 . . . . . 6
6 oevn0 7184 . . . . . 6
75, 6mpanl2 681 . . . . 5
8 1on 7156 . . . . . . 7
98elexi 3119 . . . . . 6
109rdg0 7106 . . . . 5
117, 10syl6eq 2514 . . . 4
1211adantll 713 . . 3
134, 12oe0lem 7182 . 2
1413anidms 645 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109   c0 3784  e.cmpt 4510   con0 4883  `cfv 5593  (class class class)co 6296  reccrdg 7094   c1o 7142   comu 7147   coe 7148
This theorem is referenced by:  oecl  7206  oe1  7212  oe1m  7213  oen0  7254  oewordri  7260  oeoalem  7264  oeoelem  7266  oeoe  7267  oeeulem  7269  nnecl  7281  oaabs2  7313  cantnff  8114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oexp 7155
  Copyright terms: Public domain W3C validator