MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe1m Unicode version

Theorem oe1m 7213
Description: Ordinal exponentiation with a mantissa of 1. Proposition 8.31(3) of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 2-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oe1m

Proof of Theorem oe1m
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . 3
21eqeq1d 2459 . 2
3 oveq2 6304 . . 3
43eqeq1d 2459 . 2
5 oveq2 6304 . . 3
65eqeq1d 2459 . 2
7 oveq2 6304 . . 3
87eqeq1d 2459 . 2
9 1on 7156 . . 3
10 oe0 7191 . . 3
119, 10ax-mp 5 . 2
12 oesuc 7196 . . . . 5
139, 12mpan 670 . . . 4
14 oveq1 6303 . . . . 5
15 om1 7210 . . . . . 6
169, 15ax-mp 5 . . . . 5
1714, 16syl6eq 2514 . . . 4
1813, 17sylan9eq 2518 . . 3
1918ex 434 . 2
20 iuneq2 4347 . . 3
21 vex 3112 . . . . . 6
22 0lt1o 7173 . . . . . . . 8
23 oelim 7203 . . . . . . . 8
2422, 23mpan2 671 . . . . . . 7
259, 24mpan 670 . . . . . 6
2621, 25mpan 670 . . . . 5
2726eqeq1d 2459 . . . 4
28 0ellim 4945 . . . . . 6
29 ne0i 3790 . . . . . 6
30 iunconst 4339 . . . . . 6
3128, 29, 303syl 20 . . . . 5
3231eqeq2d 2471 . . . 4
3327, 32bitr4d 256 . . 3
3420, 33syl5ibr 221 . 2
352, 4, 6, 8, 11, 19, 34tfinds 6694 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109   c0 3784  U_ciun 4330   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   c1o 7142   comu 7147   coe 7148
This theorem is referenced by:  oewordi  7259  oeoe  7267  cantnflem2  8130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155
  Copyright terms: Public domain W3C validator