Theorem oecl 7206

Description: Closure law for ordinal exponentiation. (Contributed by NM, 1-Jan-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
oecl

Proof of Theorem oecl

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . . . . 8
2		oe0m0 7189	. . . . . . . . 9
3		1on 7156	. . . . . . . . 9
4	2, 3	eqeltri 2541	. . . . . . . 8
5	1, 4	syl6eqel 2553	. . . . . . 7
6	5	adantl 466	. . . . . 6
7		oe0m1 7190	. . . . . . . . 9
8	7	biimpa 484	. . . . . . . 8
9		0elon 4936	. . . . . . . 8
10	8, 9	syl6eqel 2553	. . . . . . 7
11	10	adantll 713	. . . . . 6
12	6, 11	oe0lem 7182	. . . . 5
13	12	anidms 645	. . . 4
14		oveq1 6303	. . . . 5
15	14	eleq1d 2526	. . . 4
16	13, 15	syl5ibr 221	. . 3
17	16	impcom 430	. 2
18		oveq2 6304	. . . . . . 7
19	18	eleq1d 2526	. . . . . 6
20		oveq2 6304	. . . . . . 7
21	20	eleq1d 2526	. . . . . 6
22		oveq2 6304	. . . . . . 7
23	22	eleq1d 2526	. . . . . 6
24		oveq2 6304	. . . . . . 7
25	24	eleq1d 2526	. . . . . 6
26		oe0 7191	. . . . . . . 8
27	26, 3	syl6eqel 2553	. . . . . . 7
28	27	adantr 465	. . . . . 6
29		omcl 7205	. . . . . . . . . . 11
30	29	expcom 435	. . . . . . . . . 10
31	30	adantr 465	. . . . . . . . 9
32		oesuc 7196	. . . . . . . . . 10
33	32	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
34	31, 33	sylibrd 234	. . . . . . . 8
35	34	expcom 435	. . . . . . 7
36	35	adantrd 468	. . . . . 6
37		vex 3112	. . . . . . . . 9
38		iunon 7028	. . . . . . . . 9
39	37, 38	mpan 670	. . . . . . . 8
40		oelim 7203	. . . . . . . . . . . 12
41	37, 40	mpanlr1 686	. . . . . . . . . . 11
42	41	anasss 647	. . . . . . . . . 10
43	42	an12s 801	. . . . . . . . 9
44	43	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
45	39, 44	syl5ibr 221	. . . . . . 7
46	45	ex 434	. . . . . 6
47	19, 21, 23, 25, 28, 36, 46	tfinds3 6699	. . . . 5
48	47	expd 436	. . . 4
49	48	com12 31	. . 3
50	49	imp31 432	. 2
51	17, 50	oe0lem 7182	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  c0 3784  U_ciun 4330  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296  c1o 7142  comu 7147  coe 7148

This theorem is referenced by:  oen0  7254  oeordi  7255  oeord  7256  oecan  7257  oeword  7258  oewordri  7260  oeworde  7261  oeordsuc  7262  oeoalem  7264  oeoa  7265  oeoelem  7266  oeoe  7267  oelimcl  7268  oeeulem  7269  oeeui  7270  oaabs2  7313  omabs  7315  cantnfle  8111  cantnflt  8112  cantnfp1  8121  cantnflem1d  8128  cantnflem1  8129  cantnflem2  8130  cantnflem3  8131  cantnflem4  8132  cantnf  8133  oemapwe  8134  cantnffval2  8135  cantnfleOLD  8141  cantnfltOLD  8142  cantnfp1OLD  8147  cantnflem1dOLD  8151  cantnflem1OLD  8152  cantnflem3OLD  8153  cantnflem4OLD  8154  cantnfOLD  8155  oemapweOLD  8156  cantnffval2OLD  8157  cnfcomlem  8164  cnfcom  8165  cnfcom3lem  8168  cnfcom3  8169  cnfcomlemOLD  8172  cnfcomOLD  8173  cnfcom3lemOLD  8176  cnfcom3OLD  8177  infxpenc  8416  infxpencOLD  8421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155