Theorem oeeulem 7269

Description: Lemma for oeeu 7271. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
oeeu.1

Assertion

Ref	Expression
oeeulem

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem oeeulem

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oeeu.1	. . 3
2		eldifi 3625	. . . . . . . 8
3	2	adantl 466	. . . . . . 7
4		suceloni 6648	. . . . . . 7
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6
6		oeworde 7261	. . . . . . . 8
7	5, 6	syldan 470	. . . . . . 7
8		sucidg 4961	. . . . . . . 8
9	3, 8	syl 16	. . . . . . 7
10	7, 9	sseldd 3504	. . . . . 6
11		oveq2 6304	. . . . . . . 8
12	11	eleq2d 2527	. . . . . . 7
13	12	rspcev 3210	. . . . . 6
14	5, 10, 13	syl2anc 661	. . . . 5
15		onintrab2 6637	. . . . 5
16	14, 15	sylib 196	. . . 4
17		onuni 6628	. . . 4
18	16, 17	syl 16	. . 3
19	1, 18	syl5eqel 2549	. 2
20		sucidg 4961	. . . . . . 7
21	19, 20	syl 16	. . . . . 6
22		dif1o 7169	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	simprbi 464	. . . . . . . . . . . 12
24	23	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
25		ssrab2 3584	. . . . . . . . . . . . . . 15
26		rabn0 3805	. . . . . . . . . . . . . . . 16
27	14, 26	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15
28		onint 6630	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	25, 27, 28	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14
30		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . 14
31	29, 30	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . 13
32		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33	32	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	33	elrab 3257	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	34	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14
36		eldifi 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
38		oe0 7191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	39	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . 15
41		el1o 7168	. . . . . . . . . . . . . . 15
42	40, 41	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14
43	35, 42	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . 13
44	31, 43	syld 44	. . . . . . . . . . . 12
45	44	necon3ad 2667	. . . . . . . . . . 11
46	24, 45	mpd 15	. . . . . . . . . 10
47		limuni 4943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
48	47, 1	syl6eqr 2516	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	49, 50	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . . . . . 14
52		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
53	52	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55	54	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	55	cbvrabv 3108	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	53, 56	elrab2 3259	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	57	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14
59	51, 58	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
60	36	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14
61		limeq 4895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
62	48, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63	62	ibi 241	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	19, 63	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . 14
65		dif20el 7174	. . . . . . . . . . . . . . 15
66	65	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14
67		oelim 7203	. . . . . . . . . . . . . 14
68	60, 64, 66, 67	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . 13
69	59, 68	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . 12
70		eliun 4335	. . . . . . . . . . . 12
71	69, 70	sylib 196	. . . . . . . . . . 11
72	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
73		onss 6626	. . . . . . . . . . . . . . 15
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
75	74	sselda 3503	. . . . . . . . . . . . 13
76	49	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . 14
77	76	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . 13
78	55	onnminsb 6639	. . . . . . . . . . . . 13
79	75, 77, 78	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12
80	79	nrexdv 2913	. . . . . . . . . . 11
81	71, 80	pm2.65da 576	. . . . . . . . . 10
82		ioran 490	. . . . . . . . . 10
83	46, 81, 82	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9
84		eloni 4893	. . . . . . . . . 10
85		unizlim 4999	. . . . . . . . . 10
86	16, 84, 85	3syl 20	. . . . . . . . 9
87	83, 86	mtbird 301	. . . . . . . 8
88		orduniorsuc 6665	. . . . . . . . . 10
89	16, 84, 88	3syl 20	. . . . . . . . 9
90	89	ord 377	. . . . . . . 8
91	87, 90	mpd 15	. . . . . . 7
92		suceq 4948	. . . . . . . 8
93	1, 92	ax-mp 5	. . . . . . 7
94	91, 93	syl6reqr 2517	. . . . . 6
95	21, 94	eleqtrd 2547	. . . . 5
96	56	inteqi 4290	. . . . 5
97	95, 96	syl6eleq 2555	. . . 4
98	53	onnminsb 6639	. . . 4
99	19, 97, 98	sylc 60	. . 3
100		oecl 7206	. . . . 5
101	37, 19, 100	syl2anc 661	. . . 4
102		ontri1 4917	. . . 4
103	101, 3, 102	syl2anc 661	. . 3
104	99, 103	mpbird 232	. 2
105	94, 29	eqeltrd 2545	. . 3
106		oveq2 6304	. . . . . 6
107	106	eleq2d 2527	. . . . 5
108	107, 56	elrab2 3259	. . . 4
109	108	simprbi 464	. . 3
110	105, 109	syl 16	. 2
111	19, 104, 110	3jca 1176	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  U.cuni 4249  |^|cint 4286  U_ciun 4330  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296  c1o 7142  c2o 7143  coe 7148

This theorem is referenced by:  oeeui  7270  oeeu  7271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155