Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oef1o Unicode version

Theorem oef1o 8162
 Description: A bijection of the base sets induces a bijection on ordinal exponentials. (The assumption can be discharged using fveqf1o 6205.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
oef1o.f
oef1o.g
oef1o.a
oef1o.b
oef1o.c
oef1o.d
oef1o.z
oef1o.k
oef1o.h
Assertion
Ref Expression
oef1o
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem oef1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . 5
2 oef1o.c . . . . 5
3 oef1o.d . . . . 5
41, 2, 3cantnff1o 8158 . . . 4
5 eqid 2457 . . . . . . . 8
6 eqid 2457 . . . . . . . 8
7 eqid 2457 . . . . . . . 8
8 oef1o.g . . . . . . . . 9
9 f1ocnv 5833 . . . . . . . . 9
108, 9syl 16 . . . . . . . 8
11 oef1o.f . . . . . . . 8
12 ssv 3523 . . . . . . . . 9
13 oef1o.b . . . . . . . . 9
1412, 13sseldi 3501 . . . . . . . 8
15 oef1o.a . . . . . . . . . 10
1615eldifad 3487 . . . . . . . . 9
1712, 16sseldi 3501 . . . . . . . 8
1812, 3sseldi 3501 . . . . . . . 8
1912, 2sseldi 3501 . . . . . . . 8
20 ondif1 7170 . . . . . . . . . 10
2120simprbi 464 . . . . . . . . 9
2215, 21syl 16 . . . . . . . 8
235, 6, 7, 10, 11, 14, 17, 18, 19, 22mapfien 7887 . . . . . . 7
24 oef1o.k . . . . . . . 8
25 f1oeq1 5812 . . . . . . . 8
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7
2723, 26sylibr 212 . . . . . 6
28 eqid 2457 . . . . . . . . 9
2928, 2, 3cantnfdm 8102 . . . . . . . 8
30 oef1o.z . . . . . . . . . 10
3130breq2d 4464 . . . . . . . . 9
3231rabbidv 3101 . . . . . . . 8
3329, 32eqtr4d 2501 . . . . . . 7
34 f1oeq3 5814 . . . . . . 7
3533, 34syl 16 . . . . . 6
3627, 35mpbird 232 . . . . 5
375, 16, 13cantnfdm 8102 . . . . . 6
38 f1oeq2 5813 . . . . . 6
3937, 38syl 16 . . . . 5
4036, 39mpbird 232 . . . 4
41 f1oco 5843 . . . 4
424, 40, 41syl2anc 661 . . 3
43 eqid 2457 . . . . 5
4443, 16, 13cantnff1o 8158 . . . 4
45 f1ocnv 5833 . . . 4
4644, 45syl 16 . . 3
47 f1oco 5843 . . 3
4842, 46, 47syl2anc 661 . 2
49 oef1o.h . . 3
50 f1oeq1 5812 . . 3
5149, 50ax-mp 5 . 2
5248, 51sylibr 212 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  'ccnv 5003  domcdm 5004  o.ccom 5008  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296   c1o 7142   coe 7148   cmap 7439   cfsupp 7849   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  infxpenc  8416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
 Copyright terms: Public domain W3C validator