Theorem oef1o 8162

Description: A bijection of the base sets induces a bijection on ordinal exponentials. (The assumption can be discharged using fveqf1o 6205.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
oef1o.f
oef1o.g
oef1o.a
oef1o.b
oef1o.c
oef1o.d
oef1o.z
oef1o.k
oef1o.h

Assertion

Ref	Expression
oef1o

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem oef1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . . 5
2		oef1o.c	. . . . 5
3		oef1o.d	. . . . 5
4	1, 2, 3	cantnff1o 8158	. . . 4
5		eqid 2457	. . . . . . . 8
6		eqid 2457	. . . . . . . 8
7		eqid 2457	. . . . . . . 8
8		oef1o.g	. . . . . . . . 9
9		f1ocnv 5833	. . . . . . . . 9
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . 8
11		oef1o.f	. . . . . . . 8
12		ssv 3523	. . . . . . . . 9
13		oef1o.b	. . . . . . . . 9
14	12, 13	sseldi 3501	. . . . . . . 8
15		oef1o.a	. . . . . . . . . 10
16	15	eldifad 3487	. . . . . . . . 9
17	12, 16	sseldi 3501	. . . . . . . 8
18	12, 3	sseldi 3501	. . . . . . . 8
19	12, 2	sseldi 3501	. . . . . . . 8
20		ondif1 7170	. . . . . . . . . 10
21	20	simprbi 464	. . . . . . . . 9
22	15, 21	syl 16	. . . . . . . 8
23	5, 6, 7, 10, 11, 14, 17, 18, 19, 22	mapfien 7887	. . . . . . 7
24		oef1o.k	. . . . . . . 8
25		f1oeq1 5812	. . . . . . . 8
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7
27	23, 26	sylibr 212	. . . . . 6
28		eqid 2457	. . . . . . . . 9
29	28, 2, 3	cantnfdm 8102	. . . . . . . 8
30		oef1o.z	. . . . . . . . . 10
31	30	breq2d 4464	. . . . . . . . 9
32	31	rabbidv 3101	. . . . . . . 8
33	29, 32	eqtr4d 2501	. . . . . . 7
34		f1oeq3 5814	. . . . . . 7
35	33, 34	syl 16	. . . . . 6
36	27, 35	mpbird 232	. . . . 5
37	5, 16, 13	cantnfdm 8102	. . . . . 6
38		f1oeq2 5813	. . . . . 6
39	37, 38	syl 16	. . . . 5
40	36, 39	mpbird 232	. . . 4
41		f1oco 5843	. . . 4
42	4, 40, 41	syl2anc 661	. . 3
43		eqid 2457	. . . . 5
44	43, 16, 13	cantnff1o 8158	. . . 4
45		f1ocnv 5833	. . . 4
46	44, 45	syl 16	. . 3
47		f1oco 5843	. . 3
48	42, 46, 47	syl2anc 661	. 2
49		oef1o.h	. . 3
50		f1oeq1 5812	. . 3
51	49, 50	ax-mp 5	. 2
52	48, 51	sylibr 212	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  cvv 3109  \cdif 3472  c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  con0 4883  `'ccnv 5003  domcdm 5004  o.ccom 5008  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  c1o 7142  coe 7148  cmap 7439  cfsupp 7849  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  infxpenc  8416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100