Theorem oef1oOLD 8163

Description: A bijection of the base sets induces a bijection on ordinal exponentials. (The assumption can be discharged using fveqf1o 6205.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of oef1o 8162 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
oef1oOLD.f
oef1oOLD.g
oef1oOLD.a
oef1oOLD.b
oef1oOLD.c
oef1oOLD.d
oef1oOLD.z
oef1oOLD.k
oef1oOLD.h

Assertion

Ref	Expression
oef1oOLD

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem oef1oOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . . 5
2		oef1oOLD.c	. . . . 5
3		oef1oOLD.d	. . . . 5
4	1, 2, 3	cantnff1o 8158	. . . 4
5		df1o2 7161	. . . . . . . . . . . . 13
6	5	difeq2i 3618	. . . . . . . . . . . 12
7	6	imaeq2i 5340	. . . . . . . . . . 11
8	7	eleq1i 2534	. . . . . . . . . 10
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9
10	9	rabbiia 3098	. . . . . . . 8
11		eqid 2457	. . . . . . . 8
12		eqid 2457	. . . . . . . 8
13		oef1oOLD.g	. . . . . . . . 9
14		f1ocnv 5833	. . . . . . . . 9
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . 8
16		oef1oOLD.f	. . . . . . . 8
17		ssv 3523	. . . . . . . . 9
18		oef1oOLD.b	. . . . . . . . 9
19	17, 18	sseldi 3501	. . . . . . . 8
20		oef1oOLD.a	. . . . . . . . . 10
21	20	eldifad 3487	. . . . . . . . 9
22	17, 21	sseldi 3501	. . . . . . . 8
23	17, 3	sseldi 3501	. . . . . . . 8
24	17, 2	sseldi 3501	. . . . . . . 8
25		ondif1 7170	. . . . . . . . . 10
26	25	simprbi 464	. . . . . . . . 9
27	20, 26	syl 16	. . . . . . . 8
28	10, 11, 12, 15, 16, 19, 22, 23, 24, 27	mapfienOLD 8159	. . . . . . 7
29		oef1oOLD.k	. . . . . . . 8
30		f1oeq1 5812	. . . . . . . 8
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7
32	28, 31	sylibr 212	. . . . . 6
33		eqid 2457	. . . . . . . . 9
34	33, 2, 3	cantnfdmOLD 8104	. . . . . . . 8
35		oef1oOLD.z	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	sneqd 4041	. . . . . . . . . . . . 13
37	36, 5	syl6eqr 2516	. . . . . . . . . . . 12
38	37	difeq2d 3621	. . . . . . . . . . 11
39	38	imaeq2d 5342	. . . . . . . . . 10
40	39	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
41	40	rabbidv 3101	. . . . . . . 8
42	34, 41	eqtr4d 2501	. . . . . . 7
43		f1oeq3 5814	. . . . . . 7
44	42, 43	syl 16	. . . . . 6
45	32, 44	mpbird 232	. . . . 5
46		eqid 2457	. . . . . . 7
47	46, 21, 18	cantnfdmOLD 8104	. . . . . 6
48		f1oeq2 5813	. . . . . 6
49	47, 48	syl 16	. . . . 5
50	45, 49	mpbird 232	. . . 4
51		f1oco 5843	. . . 4
52	4, 50, 51	syl2anc 661	. . 3
53		eqid 2457	. . . . 5
54	53, 21, 18	cantnff1o 8158	. . . 4
55		f1ocnv 5833	. . . 4
56	54, 55	syl 16	. . 3
57		f1oco 5843	. . 3
58	52, 56, 57	syl2anc 661	. 2
59		oef1oOLD.h	. . 3
60		f1oeq1 5812	. . 3
61	59, 60	ax-mp 5	. 2
62	58, 61	sylibr 212	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  cvv 3109  \cdif 3472  c0 3784  {csn 4029  e.cmpt 4510  con0 4883  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  o.ccom 5008  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  c1o 7142  coe 7148  cmap 7439  cfn 7536  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  infxpencOLD  8421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100