Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oef1oOLD Unicode version

Theorem oef1oOLD 8163
 Description: A bijection of the base sets induces a bijection on ordinal exponentials. (The assumption can be discharged using fveqf1o 6205.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of oef1o 8162 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
oef1oOLD.f
oef1oOLD.g
oef1oOLD.a
oef1oOLD.b
oef1oOLD.c
oef1oOLD.d
oef1oOLD.z
oef1oOLD.k
oef1oOLD.h
Assertion
Ref Expression
oef1oOLD
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem oef1oOLD
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . 5
2 oef1oOLD.c . . . . 5
3 oef1oOLD.d . . . . 5
41, 2, 3cantnff1o 8158 . . . 4
5 df1o2 7161 . . . . . . . . . . . . 13
65difeq2i 3618 . . . . . . . . . . . 12
76imaeq2i 5340 . . . . . . . . . . 11
87eleq1i 2534 . . . . . . . . . 10
98a1i 11 . . . . . . . . 9
109rabbiia 3098 . . . . . . . 8
11 eqid 2457 . . . . . . . 8
12 eqid 2457 . . . . . . . 8
13 oef1oOLD.g . . . . . . . . 9
14 f1ocnv 5833 . . . . . . . . 9
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8
16 oef1oOLD.f . . . . . . . 8
17 ssv 3523 . . . . . . . . 9
18 oef1oOLD.b . . . . . . . . 9
1917, 18sseldi 3501 . . . . . . . 8
20 oef1oOLD.a . . . . . . . . . 10
2120eldifad 3487 . . . . . . . . 9
2217, 21sseldi 3501 . . . . . . . 8
2317, 3sseldi 3501 . . . . . . . 8
2417, 2sseldi 3501 . . . . . . . 8
25 ondif1 7170 . . . . . . . . . 10
2625simprbi 464 . . . . . . . . 9
2720, 26syl 16 . . . . . . . 8
2810, 11, 12, 15, 16, 19, 22, 23, 24, 27mapfienOLD 8159 . . . . . . 7
29 oef1oOLD.k . . . . . . . 8
30 f1oeq1 5812 . . . . . . . 8
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7
3228, 31sylibr 212 . . . . . 6
33 eqid 2457 . . . . . . . . 9
3433, 2, 3cantnfdmOLD 8104 . . . . . . . 8
35 oef1oOLD.z . . . . . . . . . . . . . 14
3635sneqd 4041 . . . . . . . . . . . . 13
3736, 5syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . 12
3837difeq2d 3621 . . . . . . . . . . 11
3938imaeq2d 5342 . . . . . . . . . 10
4039eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
4140rabbidv 3101 . . . . . . . 8
4234, 41eqtr4d 2501 . . . . . . 7
43 f1oeq3 5814 . . . . . . 7
4442, 43syl 16 . . . . . 6
4532, 44mpbird 232 . . . . 5
46 eqid 2457 . . . . . . 7
4746, 21, 18cantnfdmOLD 8104 . . . . . 6
48 f1oeq2 5813 . . . . . 6
4947, 48syl 16 . . . . 5
5045, 49mpbird 232 . . . 4
51 f1oco 5843 . . . 4
524, 50, 51syl2anc 661 . . 3
53 eqid 2457 . . . . 5
5453, 21, 18cantnff1o 8158 . . . 4
55 f1ocnv 5833 . . . 4
5654, 55syl 16 . . 3
57 f1oco 5843 . . 3
5852, 56, 57syl2anc 661 . 2
59 oef1oOLD.h . . 3
60 f1oeq1 5812 . . 3
6159, 60ax-mp 5 . 2
6258, 61sylibr 212 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472   c0 3784  {csn 4029  e.cmpt 4510   con0 4883  'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  o.ccom 5008  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296   c1o 7142   coe 7148   cmap 7439   cfn 7536   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  infxpencOLD  8421 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
 Copyright terms: Public domain W3C validator