MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oelim2 Unicode version

Theorem oelim2 7263
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oelim2
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem oelim2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 4946 . . . . . 6
2 0ellim 4945 . . . . . . 7
32adantl 466 . . . . . 6
4 oe0m1 7190 . . . . . . 7
54biimpa 484 . . . . . 6
61, 3, 5syl2anc 661 . . . . 5
7 eldif 3485 . . . . . . . . 9
8 limord 4942 . . . . . . . . . . . 12
9 ordelon 4907 . . . . . . . . . . . 12
108, 9sylan 471 . . . . . . . . . . 11
11 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . . 13
12 el1o 7168 . . . . . . . . . . . . . 14
1312necon3bbii 2718 . . . . . . . . . . . . 13
1411, 13syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . 12
15 oe0m1 7190 . . . . . . . . . . . . 13
1615biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12
1714, 16sylbird 235 . . . . . . . . . . 11
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . 10
1918impr 619 . . . . . . . . 9
207, 19sylan2b 475 . . . . . . . 8
2120iuneq2dv 4352 . . . . . . 7
22 df-1o 7149 . . . . . . . . . . 11
23 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . 12
242, 23mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
2522, 24syl5eqel 2549 . . . . . . . . . 10
26 1on 7156 . . . . . . . . . . 11
2726onirri 4989 . . . . . . . . . 10
2825, 27jctir 538 . . . . . . . . 9
29 eldif 3485 . . . . . . . . 9
3028, 29sylibr 212 . . . . . . . 8
31 ne0i 3790 . . . . . . . 8
32 iunconst 4339 . . . . . . . 8
3330, 31, 323syl 20 . . . . . . 7
3421, 33eqtrd 2498 . . . . . 6
3534adantl 466 . . . . 5
366, 35eqtr4d 2501 . . . 4
37 oveq1 6303 . . . . 5
38 oveq1 6303 . . . . . 6
3938iuneq2d 4357 . . . . 5
4037, 39eqeq12d 2479 . . . 4
4136, 40syl5ibr 221 . . 3
4241impcom 430 . 2
43 oelim 7203 . . 3
44 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . . 13
4544biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12
46 nsuceq0 4963 . . . . . . . . . . . . 13
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
48 dif1o 7169 . . . . . . . . . . . 12
4945, 47, 48sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11
5049ex 434 . . . . . . . . . 10
5150ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
52 sssucid 4960 . . . . . . . . . . 11
53 ordelon 4907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
548, 53sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 suceloni 6648 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5654, 55jccir 539 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58573expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
6056, 59sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
6160anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13
62 oewordi 7259 . . . . . . . . . . . . 13
6361, 62sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
6463an32s 804 . . . . . . . . . . 11
6552, 64mpi 17 . . . . . . . . . 10
6665ex 434 . . . . . . . . 9
6751, 66jcad 533 . . . . . . . 8
68 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
6968sseq2d 3531 . . . . . . . . 9
7069rspcev 3210 . . . . . . . 8
7167, 70syl6 33 . . . . . . 7
7271ralrimiv 2869 . . . . . 6
73 iunss2 4375 . . . . . 6
7472, 73syl 16 . . . . 5
75 difss 3630 . . . . . . . 8
76 iunss1 4342 . . . . . . . 8
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . 7
78 oveq2 6304 . . . . . . . 8
7978cbviunv 4369 . . . . . . 7
8077, 79sseqtri 3535 . . . . . 6
8180a1i 11 . . . . 5
8274, 81eqssd 3520 . . . 4
8382adantlrl 719 . . 3
8443, 83eqtrd 2498 . 2
8542, 84oe0lem 7182 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   c1o 7142   coe 7148
This theorem is referenced by:  oelimcl  7268  oaabs2  7313  omabs  7315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155
  Copyright terms: Public domain W3C validator