Theorem oelimcl 7268

Description: The ordinal exponential with a limit ordinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oelimcl

Proof of Theorem oelimcl

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3625	. . . 4
2		limelon 4946	. . . 4
3		oecl 7206	. . . 4
4	1, 2, 3	syl2an 477	. . 3
5		eloni 4893	. . 3
6	4, 5	syl 16	. 2
7	1	adantr 465	. . 3
8	2	adantl 466	. . 3
9		dif20el 7174	. . . 4
10	9	adantr 465	. . 3
11		oen0 7254	. . 3
12	7, 8, 10, 11	syl21anc 1227	. 2
13		oelim2 7263	. . . . . 6
14	1, 13	sylan 471	. . . . 5
15	14	eleq2d 2527	. . . 4
16		eliun 4335	. . . . 5
17		eldifi 3625	. . . . . . 7
18	7	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
19	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
20		simprl 756	. . . . . . . . . . . . 13
21		onelon 4908	. . . . . . . . . . . . 13
22	19, 20, 21	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
23		oecl 7206	. . . . . . . . . . . 12
24	18, 22, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
25		eloni 4893	. . . . . . . . . . 11
26	24, 25	syl 16	. . . . . . . . . 10
27		simprr 757	. . . . . . . . . 10
28		ordsucss 6653	. . . . . . . . . 10
29	26, 27, 28	sylc 60	. . . . . . . . 9
30		simpll 753	. . . . . . . . . . 11
31		oeordi 7255	. . . . . . . . . . 11
32	19, 30, 31	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
33	20, 32	mpd 15	. . . . . . . . 9
34		onelon 4908	. . . . . . . . . . . 12
35	24, 27, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
36		suceloni 6648	. . . . . . . . . . 11
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . . 10
38	4	adantr 465	. . . . . . . . . 10
39		ontr2 4930	. . . . . . . . . 10
40	37, 38, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
41	29, 33, 40	mp2and 679	. . . . . . . 8
42	41	expr 615	. . . . . . 7
43	17, 42	sylan2 474	. . . . . 6
44	43	rexlimdva 2949	. . . . 5
45	16, 44	syl5bi 217	. . . 4
46	15, 45	sylbid 215	. . 3
47	46	ralrimiv 2869	. 2
48		dflim4 6683	. 2
49	6, 12, 47, 48	syl3anbrc 1180	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  U_ciun 4330  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296  c1o 7142  c2o 7143  coe 7148

This theorem is referenced by:  oaabs2  7313  omabs  7315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155