MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapvali Unicode version

Theorem oemapvali 8124
Description: If , then there is some witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression that also witnesses . (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
oemapval.t
oemapval.f
oemapval.g
oemapvali.r
oemapvali.x
Assertion
Ref Expression
oemapvali
Distinct variable groups:   , , , , ,   , , , , ,   ,   , , , ,   S, , , ,   , , , , ,   , , ,   , , , ,   ,   ,

Proof of Theorem oemapvali
StepHypRef Expression
1 oemapvali.r . . 3
2 cantnfs.s . . . 4
3 cantnfs.a . . . 4
4 cantnfs.b . . . 4
5 oemapval.t . . . 4
6 oemapval.f . . . 4
7 oemapval.g . . . 4
82, 3, 4, 5, 6, 7oemapval 8123 . . 3
91, 8mpbid 210 . 2
10 ssrab2 3584 . . . 4
11 oemapvali.x . . . . 5
124adantr 465 . . . . . . . 8
13 onss 6626 . . . . . . . 8
1412, 13syl 16 . . . . . . 7
1510, 14syl5ss 3514 . . . . . 6
162, 3, 4cantnfs 8106 . . . . . . . . . 10
177, 16mpbid 210 . . . . . . . . 9
1817simprd 463 . . . . . . . 8
1918adantr 465 . . . . . . 7
2043ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
21 simp2 997 . . . . . . . . . 10
2217simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
23 ffn 5736 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11
25243ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
26 ne0i 3790 . . . . . . . . . . 11
27263ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10
28 fvn0elsupp 6934 . . . . . . . . . 10
2920, 21, 25, 27, 28syl22anc 1229 . . . . . . . . 9
3029rabssdv 3579 . . . . . . . 8
3130adantr 465 . . . . . . 7
32 fsuppimp 7855 . . . . . . . 8
33 ssfi 7760 . . . . . . . . . 10
3433ex 434 . . . . . . . . 9
3534adantl 466 . . . . . . . 8
3632, 35syl 16 . . . . . . 7
3719, 31, 36sylc 60 . . . . . 6
38 simprl 756 . . . . . . . 8
39 simprrl 765 . . . . . . . 8
40 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
41 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
4240, 41eleq12d 2539 . . . . . . . . 9
4342elrab 3257 . . . . . . . 8
4438, 39, 43sylanbrc 664 . . . . . . 7
45 ne0i 3790 . . . . . . 7
4644, 45syl 16 . . . . . 6
47 ordunifi 7790 . . . . . 6
4815, 37, 46, 47syl3anc 1228 . . . . 5
4911, 48syl5eqel 2549 . . . 4
5010, 49sseldi 3501 . . 3
51 fveq2 5871 . . . . . . 7
52 fveq2 5871 . . . . . . 7
5351, 52eleq12d 2539 . . . . . 6
54 fveq2 5871 . . . . . . . 8
55 fveq2 5871 . . . . . . . 8
5654, 55eleq12d 2539 . . . . . . 7
5756cbvrabv 3108 . . . . . 6
5853, 57elrab2 3259 . . . . 5
5949, 58sylib 196 . . . 4
6059simprd 463 . . 3
61 simprrr 766 . . . 4
623adantr 465 . . . . . . . . . . 11
6322adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
6463, 50ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . 11
65 onelon 4908 . . . . . . . . . . 11
6662, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
67 eloni 4893 . . . . . . . . . 10
68 ordirr 4901 . . . . . . . . . 10
6966, 67, 683syl 20 . . . . . . . . 9
70 nelneq 2574 . . . . . . . . 9
7160, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . 8
72 eleq2 2530 . . . . . . . . . . 11
73 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
74 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
7573, 74eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
7672, 75imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
7776rspccv 3207 . . . . . . . . 9
7861, 50, 77sylc 60 . . . . . . . 8
7971, 78mtod 177 . . . . . . 7
80 ssexg 4598 . . . . . . . . . . 11
8110, 12, 80sylancr 663 . . . . . . . . . 10
82 ssonuni 6622 . . . . . . . . . 10
8381, 15, 82sylc 60 . . . . . . . . 9
8411, 83syl5eqel 2549 . . . . . . . 8
85 onelon 4908 . . . . . . . . 9
8612, 38, 85syl2anc 661 . . . . . . . 8
87 ontri1 4917 . . . . . . . 8
8884, 86, 87syl2anc 661 . . . . . . 7
8979, 88mpbird 232 . . . . . 6
90 elssuni 4279 . . . . . . . 8
9190, 11syl6sseqr 3550 . . . . . . 7
9244, 91syl 16 . . . . . 6
9389, 92eqssd 3520 . . . . 5
94 eleq1 2529 . . . . . . 7
9594imbi1d 317 . . . . . 6
9695ralbidv 2896 . . . . 5
9793, 96syl 16 . . . 4
9861, 97mpbird 232 . . 3
9950, 60, 983jca 1176 . 2
1009, 99rexlimddv 2953 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  Ordword 4882   con0 4883  domcdm 5004  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   csupp 6918   cfn 7536   cfsupp 7849   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cantnflem1a  8125  cantnflem1b  8126  cantnflem1c  8127  cantnflem1d  8128  cantnflem1  8129  cantnflem1aOLD  8148  cantnflem1bOLD  8149  cantnflem1cOLD  8150  cantnflem1dOLD  8151  cantnflem1OLD  8152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator