Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapweOLD Unicode version

Theorem oemapweOLD 8156
 Description: The lexicographic order on a function space of ordinals gives a well-ordering with order type equal to the ordinal exponential. This provides an alternative definition of the ordinal exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of oemapwe 8134 as of 2-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
oemapvalOLD.t
Assertion
Ref Expression
oemapweOLD
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,S,,   ,,,

Proof of Theorem oemapweOLD
StepHypRef Expression
1 cantnfsOLD.2 . . . . 5
2 cantnfsOLD.3 . . . . 5
3 oecl 7206 . . . . 5
41, 2, 3syl2anc 661 . . . 4
5 eloni 4893 . . . 4
6 ordwe 4896 . . . 4
74, 5, 63syl 20 . . 3
8 cantnfsOLD.1 . . . . 5
9 oemapvalOLD.t . . . . 5
108, 1, 2, 9cantnfOLD 8155 . . . 4
11 isowe 6245 . . . 4
1210, 11syl 16 . . 3
137, 12mpbird 232 . 2
144, 5syl 16 . . . . 5
15 isocnv 6226 . . . . . 6
1610, 15syl 16 . . . . 5
17 ovex 6324 . . . . . . . . 9
1817dmex 6733 . . . . . . . 8
198, 18eqeltri 2541 . . . . . . 7
20 exse 4848 . . . . . . 7
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6
22 eqid 2457 . . . . . . 7
2322oieu 7985 . . . . . 6
2413, 21, 23sylancl 662 . . . . 5
2514, 16, 24mpbi2and 921 . . . 4
2625simpld 459 . . 3
2726eqcomd 2465 . 2
2813, 27jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  {copab 4509   cep 4794  Sewse 4841  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  'ccnv 5003  domcdm 5004  cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296   coe 7148  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
 Copyright terms: Public domain W3C validator