Theorem oemapweOLD 8156

Description: The lexicographic order on a function space of ordinals gives a well-ordering with order type equal to the ordinal exponential. This provides an alternative definition of the ordinal exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of oemapwe 8134 as of 2-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfsOLD.1
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
oemapvalOLD.t

Assertion

Ref	Expression
oemapweOLD

Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,S,,   ,,,

Proof of Theorem oemapweOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfsOLD.2	. . . . 5
2		cantnfsOLD.3	. . . . 5
3		oecl 7206	. . . . 5
4	1, 2, 3	syl2anc 661	. . . 4
5		eloni 4893	. . . 4
6		ordwe 4896	. . . 4
7	4, 5, 6	3syl 20	. . 3
8		cantnfsOLD.1	. . . . 5
9		oemapvalOLD.t	. . . . 5
10	8, 1, 2, 9	cantnfOLD 8155	. . . 4
11		isowe 6245	. . . 4
12	10, 11	syl 16	. . 3
13	7, 12	mpbird 232	. 2
14	4, 5	syl 16	. . . . 5
15		isocnv 6226	. . . . . 6
16	10, 15	syl 16	. . . . 5
17		ovex 6324	. . . . . . . . 9
18	17	dmex 6733	. . . . . . . 8
19	8, 18	eqeltri 2541	. . . . . . 7
20		exse 4848	. . . . . . 7
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6
22		eqid 2457	. . . . . . 7
23	22	oieu 7985	. . . . . 6
24	13, 21, 23	sylancl 662	. . . . 5
25	14, 16, 24	mpbi2and 921	. . . 4
26	25	simpld 459	. . 3
27	26	eqcomd 2465	. 2
28	13, 27	jca 532	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  {copab 4509  cep 4794  Sewse 4841  Wewwe 4842  Ordword 4882  con0 4883  `'ccnv 5003  domcdm 5004  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  coe 7148  OrdIsocoi 7955  ccnf 8099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100