MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oen0 Unicode version

Theorem oen0 7254
Description: Ordinal exponentiation with a nonzero mantissa is nonzero. Proposition 8.32 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 4-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oen0

Proof of Theorem oen0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . 6
21eleq2d 2527 . . . . 5
3 oveq2 6304 . . . . . 6
43eleq2d 2527 . . . . 5
5 oveq2 6304 . . . . . 6
65eleq2d 2527 . . . . 5
7 oveq2 6304 . . . . . 6
87eleq2d 2527 . . . . 5
9 0lt1o 7173 . . . . . . 7
10 oe0 7191 . . . . . . 7
119, 10syl5eleqr 2552 . . . . . 6
1211adantr 465 . . . . 5
13 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
14 oecl 7206 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14jca 532 . . . . . . . . . . 11
16 omordi 7234 . . . . . . . . . . . 12
17 om0 7186 . . . . . . . . . . . . . 14
1817eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
1918ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12
2016, 19sylibd 214 . . . . . . . . . . 11
2115, 20sylan 471 . . . . . . . . . 10
22 oesuc 7196 . . . . . . . . . . . 12
2322eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
2423adantr 465 . . . . . . . . . 10
2521, 24sylibrd 234 . . . . . . . . 9
2625exp31 604 . . . . . . . 8
2726com12 31 . . . . . . 7
2827com34 83 . . . . . 6
2928impd 431 . . . . 5
30 0ellim 4945 . . . . . . . . . . . 12
31 eqimss2 3556 . . . . . . . . . . . . 13
3210, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12
33 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
3433sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . 13
3534rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12
3630, 32, 35syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
37 ssiun 4372 . . . . . . . . . . 11
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . 10
3938adantrr 716 . . . . . . . . 9
40 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
41 oelim 7203 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41mpanlr1 686 . . . . . . . . . . 11
4342anasss 647 . . . . . . . . . 10
4443an12s 801 . . . . . . . . 9
4539, 44sseqtr4d 3540 . . . . . . . 8
46 limelon 4946 . . . . . . . . . . . 12
4740, 46mpan 670 . . . . . . . . . . 11
48 oecl 7206 . . . . . . . . . . . 12
4948ancoms 453 . . . . . . . . . . 11
5047, 49sylan 471 . . . . . . . . . 10
51 eloni 4893 . . . . . . . . . 10
52 ordgt0ge1 7166 . . . . . . . . . 10
5350, 51, 523syl 20 . . . . . . . . 9
5453adantrr 716 . . . . . . . 8
5545, 54mpbird 232 . . . . . . 7
5655ex 434 . . . . . 6
5756a1dd 46 . . . . 5
582, 4, 6, 8, 12, 29, 57tfinds3 6699 . . . 4
5958expd 436 . . 3
6059com12 31 . 2
6160imp31 432 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   c1o 7142   comu 7147   coe 7148
This theorem is referenced by:  oeordi  7255  oeordsuc  7262  oeoelem  7266  oelimcl  7268  oeeui  7270  cantnflt  8112  cantnfltOLD  8142  cnfcom  8165  cnfcomOLD  8173  infxpenc  8416  infxpenc2  8420  infxpencOLD  8421  infxpenc2OLD  8424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155
  Copyright terms: Public domain W3C validator